数学1 命題の証明 問題 1 解説

方針・初手

当選定員が5名であるため、6位以下になる可能性がなくなるような最低得票数を考える。 自分が $x$ 票を獲得したとき、自分を含めて6人以上の候補者が $x$ 票以上を獲得する可能性がなければ、確実に上位5名に入り当選する。

解法1

自分が $x$ 票を獲得し、かつ落選する（上位5名に入れない）最悪のケースは、自分を含めて上位6名全員が $x$ 票以上を獲得する場合である。

総投票数は100票であるから、このような事態が起こり得る条件は、

$$6x \leqq 100$$

となることである。

これを解くと、

$$x \leqq \frac{100}{6} = 16.66\cdots$$

したがって、$x \leqq 16$ のときは、自分を含めて6人以上が $x$ 票以上を獲得する可能性があり、落選する可能性がある。

一方、$x \geqq 17$ のとき、

$$6 \times 17 = 102 > 100$$

となるため、6人全員が17票以上を獲得することは不可能である。

よって、17票以上獲得すれば、自分より得票数が多い、あるいは同数である候補者は最大でも4人しか存在し得ない。

ゆえに、17票を獲得すれば確実に上位5名に入り、当選が確実となる。

解説

「当選確実となる最低得票数」を求める典型的な論理問題である。

一般に、定員 $m$ 名、総投票数 $N$ の選挙（1人1票）において、当選が確実となる最低得票数 $x$ は、

$$(m+1)x > N$$

を満たす最小の整数 $x$ として求められる。

本問では $m=5$、$N=100$ であるため、$6x > 100$ を満たす最小の整数を求めればよい。 もし自分が16票だった場合、残りの84票を他の5人が17票、17票、17票、17票、16票と分け合うケースが存在し、このとき自分は同率6位となり落選する可能性がある。 このように、具体的な状況を想定して確認することもミスを防ぐうえで有効である。

答え

17票