数学2 微分の基本 問題 5 解説

方針・初手

分数関数の極限が有限の値に収束し、分子の極限が $0$ になることから、分母の極限も $0$ になることを利用する。この必要条件から文字を減らし、実際に極限値を計算して条件を満たすか確認する。

解法1

$x \to 3$ のとき、分子の極限は

$$\lim_{x \to 3} (x^2 + 2x - 15) = 3^2 + 2 \cdot 3 - 15 = 0$$

となる。

与えられた極限が有限の値 $3$ に収束し、かつ分子の極限が $0$ になるため、分母の極限も $0$ にならなければならない。 したがって、

$$\lim_{x \to 3} (x^2 + ax + b) = 0$$

$$3^2 + 3a + b = 0$$

$$b = -3a - 9 \cdots \text{①}$$

が成り立つ。

このとき、分母は次のように因数分解できる。

$$\begin{aligned} x^2 + ax + b &= x^2 + ax - 3a - 9 \\ &= (x^2 - 9) + a(x - 3) \\ &= (x - 3)(x + 3) + a(x - 3) \\ &= (x - 3)(x + a + 3) \end{aligned}$$

また、分子は $(x - 3)(x + 5)$ と因数分解できる。 これらを元の極限の式に代入すると、

$$\begin{aligned} \lim_{x \to 3} \frac{x^2 + 2x - 15}{x^2 + ax + b} &= \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x + 5)}{(x - 3)(x + a + 3)} \\ &= \lim_{x \to 3} \frac{x + 5}{x + a + 3} \\ &= \frac{3 + 5}{3 + a + 3} \\ &= \frac{8}{a + 6} \end{aligned}$$

となる。

問題の条件より、この極限値が $3$ に等しいので、

$$\frac{8}{a + 6} = 3$$

が成り立つ。これを解くと、

$$8 = 3(a + 6)$$

$$3a = -10$$

$$a = -\frac{10}{3}$$

である。このとき、分母に現れる $a + 6$ の値は $a + 6 = -\frac{10}{3} + 6 = \frac{8}{3} \neq 0$ であり、適する。

求めた $a$ の値を①に代入して $b$ を求める。

$$b = -3 \left( -\frac{10}{3} \right) - 9 = 10 - 9 = 1$$

以上より、$a$ と $b$ の値が定まる。

解説

分数関数の極限から未定係数を決定する典型問題である。 一般に、「$x \to c$ で $\frac{f(x)}{g(x)}$ が有限の値に収束し、かつ $f(x) \to 0$ となるならば、$g(x) \to 0$ となる」という性質を用いる。 この段階で得られる関係式は必要条件にすぎないため、求めた値を元の式に戻して極限が一致することを確認するか、同値変形として論証を進める必要がある。本解答では極限値を直接計算することで十分性を確認している。

答え

$a = -\frac{10}{3}, b = 1$