数学2 微分の基本 問題 7 解説

方針・初手

平均変化率の定義に従って立式する。関数 $f(x)$ において、$x$ が $a$ から $b$ まで変化するときの平均変化率は $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ で与えられる。本問では $a=3$、$b=3+h$ として計算し、その値が $9$ に等しいという方程式を解く。

解法1

関数 $f(x) = x^2 - 1$ において、$x$ が $3$ から $3+h$ まで変化するときの平均変化率は、次のように表される。

$$\frac{f(3+h) - f(3)}{(3+h) - 3}$$

分母と分子をそれぞれ計算する。分母は $(3+h) - 3 = h$ である。 分子の $f(3+h)$ と $f(3)$ はそれぞれ以下のようになる。

$$f(3+h) = (3+h)^2 - 1 = (9 + 6h + h^2) - 1 = h^2 + 6h + 8$$

$$f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$$

これらを平均変化率の式に代入する。

$$\frac{(h^2 + 6h + 8) - 8}{h} = \frac{h^2 + 6h}{h}$$

分子を $h$ でくくる。

$$\frac{h(h + 6)}{h}$$

条件より $h \neq 0$ であるから、分母と分子を $h$ で約分することができる。

$$h + 6$$

問題文の条件より、この平均変化率が $9$ となるから、次の方程式が成り立つ。

$$h + 6 = 9$$

これを解いて $h$ の値を求める。

$$h = 3$$

この値は $h \neq 0$ の条件を満たしている。

解説

平均変化率の定義式を正確に適用する基本的な問題である。$f(3+h)$ の展開や、分数式の約分において計算ミスをしないように注意すれば、容易に正解にたどり着くことができる。最後に求まった $h$ の値が、前提条件である $h \neq 0$ を満たしていることを確認する癖をつけておくとよい。

答え

$h = 3$