数学2 グラフ・増減・極値問題 4 解説

方針・初手

4次関数が極大値をもたないための条件を考える。 $f(x)$ の $x^4$ の係数が正であるため、関数 $y = f(x)$ のグラフは $x \to \pm\infty$ のとき $y \to \infty$ となる。したがって、$f(x)$ が極大値をもつための必要十分条件は、導関数 $f'(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつことである。逆に、$f(x)$ が極大値をもたないためには、$f'(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもたなければよい。すなわち、$f'(x) = 0$ の実数解が2個以下になればよい。まずは $f(x)$ を微分し、$f'(x) = 0$ の方程式を立てることから始める。

解法1

与えられた関数を微分すると、

$$f'(x) = 4x^3 - 24x^2 + 36kx$$

$$f'(x) = 4x(x^2 - 6x + 9k)$$

$f'(x) = 0$ とすると、

$$x = 0 \quad \text{または} \quad x^2 - 6x + 9k = 0$$

$f(x)$ が極大値をもたないための条件は、3次方程式 $f'(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもたないことである。これは、2次方程式 $x^2 - 6x + 9k = 0$ が以下のいずれかの条件を満たすことと同値である。

(i) 重解または虚数解をもつ。 (ii) $x = 0$ を解にもつ。

(i) の場合

2次方程式 $x^2 - 6x + 9k = 0$ の判別式を $D$ とすると、$D \leqq 0$ であればよい。

$$\frac{D}{4} = (-3)^2 - 1 \cdot 9k = 9 - 9k$$

$$9 - 9k \leqq 0$$

$$k \geqq 1$$

(ii) の場合

$x^2 - 6x + 9k = 0$ に $x = 0$ を代入して成り立つので、

$$0^2 - 6 \cdot 0 + 9k = 0$$

$$9k = 0$$

$$k = 0$$

(i), (ii) は独立して条件を満たすため、求める $k$ の値の範囲はこれらの和集合となる。したがって、

$$k = 0, \quad k \geqq 1$$

解説

最高次の係数が正の4次関数における極値の個数に関する定石問題である。最高次が正の4次関数は、必ず極小値を少なくとも1つもつ。極大値をもつ場合は、極小値2つと極大値1つをもつ「W型」のグラフになり、$f'(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつ。極大値をもたない場合は、グラフの概形が「U型」や「谷が1つで途中に変曲点がある形」となり、$f'(x) = 0$ の実数解は1つまたは2つになる。 $f'(x) = 0$ の方程式を解く際に $x$ でくくることができるため、残りの2次方程式が「重解または虚数解をもつ」という条件に目が行きやすいが、「すでに得られている解（今回は $x = 0$）を2次方程式が解にもつ」という条件 (ii) を見落としやすいので注意が必要である。