数学2 グラフ・増減・極値 問題 5 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ が $x=\alpha$ で極値をとるための必要条件は $f'(\alpha) = 0$ である。この性質を用いて連立方程式を立て、$a, b, c, d$ の値を求める。

求めた値はあくまで「極値をとる候補」となるための必要条件から導かれたものにすぎないため、最後にその関数が実際に $x=1$ で極大、$x=3$ で極小となるかどうかの十分性を確認することが不可欠である。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$$

これを $x$ で微分すると導関数が得られる。

$$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$

$f(x)$ は $x=1$ で極大値 $1$、$x=3$ で極小値 $0$ をとるため、以下の4つの条件が成り立つ。

$$\begin{aligned} f'(1) &= 0 \\ f'(3) &= 0 \\ f(1) &= 1 \\ f(3) &= 0 \end{aligned}$$

それぞれに具体的な式を代入すると、次の連立方程式が得られる。

$$\begin{aligned} 3a + 2b + c &= 0 \quad \cdots \text{①} \\ 27a + 6b + c &= 0 \quad \cdots \text{②} \\ a + b + c + d &= 1 \quad \cdots \text{③} \\ 27a + 9b + 3c + d &= 0 \quad \cdots \text{④} \end{aligned}$$

②から①を辺々引くと次式を得る。

$$24a + 4b = 0$$

これより $b = -6a$ となる。これを①に代入して $c$ を $a$ で表す。

$$3a + 2(-6a) + c = 0$$

$$c = 9a$$

$b = -6a$ と $c = 9a$ を③に代入する。

$$a - 6a + 9a + d = 1$$

$$4a + d = 1 \quad \cdots \text{⑤}$$

同様に、④に代入する。

$$27a + 9(-6a) + 3(9a) + d = 0$$

$$27a - 54a + 27a + d = 0$$

$$d = 0$$

$d=0$ を⑤に代入して $a$ を求める。

$$4a = 1$$

$$a = \frac{1}{4}$$

これより、$b, c$ の値も定まる。

$$b = -6 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{2}$$

$$c = 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$$

以上により、$a, b, c, d$ の値の候補が求まった。次に、このとき関数が実際に条件を満たすか（十分性）を確認する。

$$f(x) = \frac{1}{4}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{4}x$$

$$f'(x) = \frac{3}{4}x^2 - 3x + \frac{9}{4} = \frac{3}{4}(x^2 - 4x + 3) = \frac{3}{4}(x-1)(x-3)$$

$f'(x) = 0$ となるのは $x=1, 3$ のときである。$x$ の前後における $f'(x)$ の符号の変化を調べると、$x < 1$ で正、$1 < x < 3$ で負、$x > 3$ で正となる。

したがって、$f(x)$ は $x=1$ で極大値、$x=3$ で極小値をもち、与えられた条件を満たすことが確認できた。

解法2

$f(x)$ は3次関数であり、$x=1, 3$ で極値をもつことから、導関数 $f'(x)$ は $x=1, 3$ を解にもつ2次方程式 $f'(x)=0$ を構成する。$f(x)$ の最高次 $x^3$ の係数が $a$ であるから、$f'(x)$ の最高次 $x^2$ の係数は $3a$ である。よって、$f'(x)$ は次のように表せる。

$$f'(x) = 3a(x-1)(x-3) = 3a(x^2 - 4x + 3)$$

これを積分して $f(x)$ を求める。積分定数を $C$ とする。

$$f(x) = 3a \left( \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x \right) + C = ax^3 - 6ax^2 + 9ax + C$$

元の式 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ と係数を比較すると、以下の関係が得られる。

$$b = -6a$$

$$c = 9a$$

$$d = C$$

極値の条件 $f(1) = 1$、$f(3) = 0$ を用いる。

$$f(1) = a - 6a + 9a + d = 4a + d = 1 \quad \cdots \text{⑥}$$

$$f(3) = 27a - 54a + 27a + d = d = 0 \quad \cdots \text{⑦}$$

⑦より $d=0$ である。これを⑥に代入する。

$$4a = 1$$

$$a = \frac{1}{4}$$

$a = \frac{1}{4} > 0$ であるため、導関数 $f'(x) = \frac{3}{4}(x-1)(x-3)$ は下に凸の放物線を表す。これにより、$f'(x)$ の符号は $x=1$ の前後で正から負へ、$x=3$ の前後で負から正へと変化する。

したがって、$f(x)$ は確かに $x=1$ で極大、$x=3$ で極小となり、十分性が満たされる。

残りの係数を計算する。

$$b = -6 \cdot \frac{1}{4} = -\frac{3}{2}$$

$$c = 9 \cdot \frac{1}{4} = \frac{9}{4}$$

解説

「$x=\alpha$ で極値をもつ」という条件を処理する際、$f'(\alpha)=0$ は必要条件でしかないことに注意が必要である。$f'(\alpha)=0$ であっても、その前後で $f'(x)$ の符号が変化しなければ極値とはならないためである。

したがって、係数を求めた後に増減表（または $f'(x)$ のグラフの概形や最高次係数の符号）を用いて、極大・極小が問題の指定通りになることを確認する記述が必須となる。解法2のように導関数から逆算するアプローチは、係数比較が容易になるため計算ミスの軽減に有効である。

答え

$a = \frac{1}{4}$

$b = -\frac{3}{2}$

$c = \frac{9}{4}$

$d = 0$