数学2 グラフ・増減・極値問題 7 解説

方針・初手

与えられた不等式がすべての実数 $x$ について成り立つための条件を考える。もし左辺が3次以上の奇数次式であった場合、$x \to \infty$ または $x \to -\infty$ のいずれかで極限が $-\infty$ となり、常に正であるという条件を満たさない。したがって、まずは $x^3$ の係数が $0$ にならなければならないことに着目する。

解法1

与えられた不等式の左辺を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = (a^2-1)x^3 + (-a+b+1)x^2 + (ab-b-4)x + 4a-3b+4$$

すべての実数 $x$ について $f(x) > 0$ が成り立つためには、まず $f(x)$ が3次式であってはならない。なぜなら、$a^2-1 \neq 0$ のとき、$f(x)$ は $x \to \infty$ または $x \to -\infty$ で $-\infty$ に発散し、すべての実数で正となることはないからである。

したがって、$a^2-1 = 0$ すなわち $a = 1$ または $a = -1$ が必要である。

(i) $a = 1$ のとき

$a=1$ を $f(x)$ に代入すると、以下のようになる。

$$f(x) = (1-1)x^3 + (-1+b+1)x^2 + (b-b-4)x + 4-3b+4 = bx^2 - 4x + 8 - 3b$$

すべての実数 $x$ で $bx^2 - 4x + 8 - 3b > 0$ が成り立つ条件を考える。 $b = 0$ のとき、$f(x) = -4x + 8 > 0$ となり、例えば $x = 3$ のとき不成立となるため条件を満たさない。したがって、$b \neq 0$ であり、$f(x)$ は2次関数となる。これが常に正となるための条件は、$x^2$ の係数が正であり、かつ $f(x) = 0$ の判別式 $D$ が負となることである。

$$\begin{cases} b > 0 \\ \frac{D}{4} = (-2)^2 - b(8-3b) < 0 \end{cases}$$

判別式の不等式を解く。

$$\begin{aligned} 4 - 8b + 3b^2 &< 0 \\ 3b^2 - 8b + 4 &< 0 \\ (3b-2)(b-2) &< 0 \\ \frac{2}{3} < b &< 2 \end{aligned}$$

$b$ は整数であるから、$b = 1$ となる。これは $b > 0$ を満たす。よって、$(a, b) = (1, 1)$ は条件を満たす。

(ii) $a = -1$ のとき

$a=-1$ を $f(x)$ に代入すると、以下のようになる。

$$\begin{aligned} f(x) &= (1-1)x^3 + (1+b+1)x^2 + (-b-b-4)x - 4-3b+4 \\ &= (b+2)x^2 - 2(b+2)x - 3b \end{aligned}$$

すべての実数 $x$ で $(b+2)x^2 - 2(b+2)x - 3b > 0$ が成り立つ条件を考える。まず、$x^2$ の係数が $0$ となる $b+2 = 0$ すなわち $b = -2$ のとき、

$$f(x) = 0\cdot x^2 - 0\cdot x - 3(-2) = 6 > 0$$

となり、これはすべての実数 $x$ に対して成り立つ。

次に、$b+2 \neq 0$ のとき、常に $f(x) > 0$ となるための条件は、$x^2$ の係数が正であり、かつ $f(x) = 0$ の判別式 $D$ が負となることである。

$$\begin{cases} b + 2 > 0 \\ \frac{D}{4} = \{-(b+2)\}^2 - (b+2)(-3b) < 0 \end{cases}$$

判別式の不等式を解く。

$$\begin{aligned} (b+2)^2 + 3b(b+2) &< 0 \\ (b+2)(b+2+3b) &< 0 \\ (b+2)(4b+2) &< 0 \\ 2(b+2)(2b+1) &< 0 \\ -2 < b &< -\frac{1}{2} \end{aligned}$$

$b$ は整数であるから、$b = -1$ となる。このとき $b+2 = 1 > 0$ を満たす。よって、$(a, b) = (-1, -2), (-1, -1)$ は条件を満たす。

(i)、(ii) より、求める整数の組 $(a, b)$ は出そろった。

解説

すべての実数に対して不等式が成り立つ「絶対不等式」の典型問題である。最高次（ここでは3次）の係数に文字が含まれている場合、その値によって関数の振る舞いが大きく変わるため、係数が0になる場合とならない場合で場合分けを行うのが鉄則である。さらに、$x^2$ の係数にも文字が含まれる形となるため、2次不等式としての判別式を考える前に、2次の係数が0になる場合（本問では $b=0$ や $b=-2$）の検証を忘れないように注意したい。