数学2 グラフ・増減・極値 問題 8 解説

方針・初手

与えられた3次関数を微分して増減表を書き、極大値と極小値をとる $x$ の値を特定する。 その後、極大値に関する条件式を立てて定数 $a$ を求め、得られた $a$ を用いて極小値を計算する。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a$$

関数 $f(x)$ を $x$ について微分する。

$$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$$

右辺を因数分解する。

$$f'(x) = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x + 1)(x - 3)$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は $x = -1, 3$ である。 これより、$f(x)$ の増減表は次のようになる。

増減表より、$f(x)$ は $x = -1$ のとき極大となり、$x = 3$ のとき極小となることが分かる。 $x = -1$ のときの極大値は以下のように計算できる。

$$f(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) + a = -1 - 3 + 9 + a = a + 5$$

問題の条件より、極大値は $13$ であるから、次の方程式が成り立つ。

$$a + 5 = 13$$

これを解いて、$a$ の値を求める。

$$a = 8$$

このとき、$f(x)$ の極小値は $f(3)$ であるから、$a = 8$ を代入して計算する。

$$f(3) = 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 + 8 = 27 - 27 - 27 + 8 = -19$$

解説

3次関数の極値に関する基本的な問題である。 導関数 $f'(x)$ を求めて増減表を正しく作成することができれば、極大・極小となる $x$ の位置を間違えることなく特定できる。 極値をとる $x$ の値が求まれば、あとは代入計算によって未知の定数を決定し、残りの極値を求めるだけの定型的な処理となる。

答え

ア: 8

イ: -19