数学2 グラフ・増減・極値問題 9 解説

方針・初手

与えられた3次関数 $f(x)$ を微分し、$f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解 $\alpha, \beta$ をもつことを確認する。2次方程式の解と係数の関係を用いて、対称式の計算を進める。(3)では、極値をもつための条件（$f'(x) = 0$ の判別式 $D > 0$）の確認を忘れないようにする。

解法1

(1)

$f(x) = x^3 + kx^2 + (k+1)x$ を微分する。

$$f'(x) = 3x^2 + 2kx + k + 1$$

$f(x)$ が $x = \alpha, \beta$ で極値をもつため、2次方程式 $f'(x) = 0$ は異なる2つの実数解 $x = \alpha, \beta$ をもつ。解と係数の関係より、次が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -\frac{2}{3}k$$

$$\alpha\beta = \frac{k+1}{3}$$

(2)

与えられた式を変形し、(1)の結果を代入する。

$$\begin{aligned} \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} &= \frac{(\beta^3 - \alpha^3) + k(\beta^2 - \alpha^2) + (k+1)(\beta - \alpha)}{\beta - \alpha} \\ &= (\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) + k(\beta + \alpha) + (k+1) \\ &= (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta + k(\alpha + \beta) + k + 1 \end{aligned}$$

(1)で求めた式を代入する。

$$\begin{aligned} \frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} &= \left(-\frac{2}{3}k\right)^2 - \frac{k+1}{3} + k\left(-\frac{2}{3}k\right) + k + 1 \\ &= \frac{4}{9}k^2 - \frac{1}{3}k - \frac{1}{3} - \frac{2}{3}k^2 + k + 1 \\ &= -\frac{2}{9}k^2 + \frac{2}{3}k + \frac{2}{3} \end{aligned}$$

(3)

$f(x)$ の $x^3$ の係数が正であるため、$x = \alpha$ で極大、$x = \beta$ で極小となる条件から $\alpha < \beta$ である。よって $\beta - \alpha > 0$ である。また、$f(x)$ が極値をもつための条件は、$f'(x) = 0$ の判別式を $D$ とすると $D > 0$ であることである。

$$\frac{D}{4} = k^2 - 3(k+1) = k^2 - 3k - 3 > 0$$

次に、$\beta - \alpha$ を求める。

$$\begin{aligned} (\beta - \alpha)^2 &= (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta \\ &= \left(-\frac{2}{3}k\right)^2 - 4\left(\frac{k+1}{3}\right) \\ &= \frac{4}{9}k^2 - \frac{4}{3}k - \frac{4}{3} \\ &= \frac{4}{9}(k^2 - 3k - 3) \end{aligned}$$

$\beta - \alpha > 0$ より、次を得る。

$$\beta - \alpha = \frac{2}{3}\sqrt{k^2 - 3k - 3}$$

(2)の結果より、次のように変形できる。

$$\frac{f(\beta) - f(\alpha)}{\beta - \alpha} = -\frac{2}{9}(k^2 - 3k - 3)$$

したがって、$f(\beta) - f(\alpha)$ は次のように表される。

$$\begin{aligned} f(\beta) - f(\alpha) &= -\frac{2}{9}(k^2 - 3k - 3)(\beta - \alpha) \\ &= -\frac{2}{9}(k^2 - 3k - 3) \cdot \frac{2}{3}\sqrt{k^2 - 3k - 3} \\ &= -\frac{4}{27}(k^2 - 3k - 3)^{\frac{3}{2}} \end{aligned}$$

条件より $f(\beta) - f(\alpha) = -\frac{4}{27}$ であるから、次の方程式が成り立つ。

$$-\frac{4}{27}(k^2 - 3k - 3)^{\frac{3}{2}} = -\frac{4}{27}$$

$$(k^2 - 3k - 3)^{\frac{3}{2}} = 1$$

$k^2 - 3k - 3 > 0$ であることに注意して両辺を $\frac{2}{3}$ 乗すると、次を得る。

$$k^2 - 3k - 3 = 1$$

$$k^2 - 3k - 4 = 0$$

$$(k - 4)(k + 1) = 0$$

よって、$k = -1, 4$ となる。これらの値は $k^2 - 3k - 3 = 1 > 0$ を満たすため、極値をもつ条件に適している。

解法2

(3)の別解

極値の差 $f(\beta) - f(\alpha)$ を、定積分を用いて計算する。 $f(x)$ は $x = \alpha$ で極大、$x = \beta$ で極小となるため、$\alpha < \beta$ である。

$$\begin{aligned} f(\beta) - f(\alpha) &= \int_{\alpha}^{\beta} f'(x) dx \\ &= \int_{\alpha}^{\beta} 3(x - \alpha)(x - \beta) dx \\ &= -3 \cdot \frac{1}{6}(\beta - \alpha)^3 \\ &= -\frac{1}{2}(\beta - \alpha)^3 \end{aligned}$$

解法1と同様に計算して $\beta - \alpha = \frac{2}{3}\sqrt{k^2 - 3k - 3}$ を得る。これを代入する。

$$\begin{aligned} f(\beta) - f(\alpha) &= -\frac{1}{2} \left( \frac{2}{3}\sqrt{k^2 - 3k - 3} \right)^3 \\ &= -\frac{1}{2} \cdot \frac{8}{27}(k^2 - 3k - 3)^{\frac{3}{2}} \\ &= -\frac{4}{27}(k^2 - 3k - 3)^{\frac{3}{2}} \end{aligned}$$

以降は解法1と同様に方程式を解き、$k = -1, 4$ を得る（極値をもつ条件 $D > 0$ の確認も同様に行う）。

解説

3次関数の極値に関する典型的な問題である。(1)と(2)は解と係数の関係および対称式の計算の基本であり、確実に正答したい。 (3)における極値の差の計算では、解法1のように(2)の誘導に乗る方法と、解法2のように定積分のいわゆる「1/6公式」を用いる方法がある。どちらも頻出の処理であるため、両方の発想を持っておくことが望ましい。また、3次関数が極値をもつための条件（$f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつ）の確認を怠りやすいため、十分に注意すること。