数学2 グラフ・増減・極値問題 10 解説

方針・初手

関数 $f(x)$ が $x=-1, 2$ で極値をとることから、$f'(-1)=0$ かつ $f'(2)=0$ である。この2つの条件から $a$ と $b$ の値を絞り込む。次に、$x=-1$ で極小、$x=2$ で極大となるためには、3次関数のグラフの形状から $x^3$ の係数 $a$ が負である必要がある。この条件を用いて $a, b$ の値を確定させる。最後に、極小値と極大値をそれぞれ定数 $c$ を用いて表し、問題文の絶対値を含む条件式から $c$ の値を求める。

解法1

与えられた関数 $f(x) = ax^3 + (7 - a^2)x^2 + bx + c$ を微分すると、

$$f'(x) = 3ax^2 + 2(7 - a^2)x + b$$

となる。

関数 $f(x)$ が $x = -1, 2$ で極値をとるための必要条件は、$f'(-1) = 0$ かつ $f'(2) = 0$ である。

$$f'(-1) = 3a - 2(7 - a^2) + b = 2a^2 + 3a + b - 14 = 0$$

$$f'(2) = 12a + 4(7 - a^2) + b = -4a^2 + 12a + b + 28 = 0$$

これらの式から $b$ を消去するために、上の式から下の式を引くと、

$$6a^2 - 9a - 42 = 0$$

$$2a^2 - 3a - 14 = 0$$

$$(a - 2)(2a + 7) = 0$$

これを解いて、

$$a = -2, \frac{7}{2}$$

また、$f(x)$ は $x = -1$ で極小値、$x = 2$ で極大値をとる。極小値をとる $x$ の値が極大値をとる $x$ の値よりも小さい（$-1 < 2$）ため、3次関数 $f(x)$ のグラフは右下がりで始まる形、すなわち $x^3$ の係数 $a$ は負でなければならない。したがって、$a < 0$ より、

$$a = -2$$

このとき、$f'(-1) = 0$ の式に代入して $b$ を求める。

$$2(-2)^2 + 3(-2) + b - 14 = 0$$

$$8 - 6 + b - 14 = 0$$

$$b = 12$$

これらを $f(x)$ に代入すると、

$$f(x) = -2x^3 + 3x^2 + 12x + c$$

となる。

次に、極小値 $f(-1)$ と極大値 $f(2)$ を $c$ を用いて表す。

$$f(-1) = -2(-1)^3 + 3(-1)^2 + 12(-1) + c = 2 + 3 - 12 + c = c - 7$$

$$f(2) = -2(2)^3 + 3(2)^2 + 12(2) + c = -16 + 12 + 24 + c = c + 20$$

問題の条件より、「極小値の絶対値の2倍が極大値に等しい」ので、

$$2|f(-1)| = f(2)$$

すなわち、

$$2|c - 7| = c + 20$$

が成り立つ。絶対値の中身の正負によって場合分けを行う。

(i) $c - 7 \geqq 0$、すなわち $c \geqq 7$ のとき

方程式は、

$$2(c - 7) = c + 20$$

$$2c - 14 = c + 20$$

$$c = 34$$

これは $c \geqq 7$ を満たす。

(ii) $c - 7 < 0$、すなわち $c < 7$ のとき

方程式は、

$$-2(c - 7) = c + 20$$

$$-2c + 14 = c + 20$$

$$-3c = 6$$

$$c = -2$$

これは $c < 7$ を満たす。

(i)、(ii) より、$c = 34, -2$ である。

解説

3次関数が極値をもつ条件から係数を決定する典型的な問題である。単に $f'(x) = 0$ を満たすだけでなく、$x=-1$ で「極小」、$x=2$ で「極大」になるという条件を正確に処理することが重要である。これを満たすためには、$f'(x)$ の符号が $x=-1$ の前後で負から正に、$x=2$ の前後で正から負に変化しなければならない。つまり、$y = f'(x)$ は上に凸の放物線となるため、$a < 0$ であることが不可欠である。また、絶対値を含む方程式は、基本に忠実に絶対値の中身の正負で場合分けをして解き、最後に場合分けの条件を満たすかどうかの確認を忘れないようにすべきである。