トップ› 基礎問題› 数学2› 微分法› グラフ・増減・極値› 問題 11

数学2 グラフ・増減・極値問題 11 解説

方針・初手

剰余の定理と多項式の割り算の等式を利用して定数 $a, b$ についての連立方程式を立てる。その後、決定した多項式を微分して増減を調べ、極大値をとる $x$ の値を求める。

解法1

多項式 $p(x) = ax^3 - 6x^2 - 18x + b$ が $x-2$ で割り切れるので、剰余の定理より $p(2) = 0$ である。

$$p(2) = 8a - 24 - 36 + b = 8a + b - 60 = 0$$

よって、

$$b = -8a + 60 \cdots ①$$

また、$p(x)$ を $x^2 - x + 1$ で割ったときの商は、最高次の項と次数を考えると $ax + c$ （$c$ は定数）とおける。余りが $-24x + 48$ であるから、次の恒等式が成り立つ。

$$ax^3 - 6x^2 - 18x + b = (x^2 - x + 1)(ax + c) - 24x + 48$$

右辺を展開して整理すると、

$$\begin{aligned} (右辺) &= ax^3 + cx^2 - ax^2 - cx + ax + c - 24x + 48 \\ &= ax^3 + (c - a)x^2 + (a - c - 24)x + c + 48 \end{aligned}$$

両辺の係数を比較して、以下の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} c - a = -6 \cdots ② \\ a - c - 24 = -18 \cdots ③ \\ c + 48 = b \cdots ④ \end{cases}$$

②より $c = a - 6$ となる。これを③に代入すると $-18 = -18$ となり矛盾しない。 $c = a - 6$ を④に代入すると、

$$b = a - 6 + 48 = a + 42 \cdots ⑤$$

①と⑤から $b$ を消去して、

$$-8a + 60 = a + 42$$

$$9a = 18$$

$$a = 2$$

これを⑤に代入して、

$$b = 2 + 42 = 44$$

したがって、(ア) は $2$、(イ) は $44$ である。このとき、商は $ax + c = 2x + (2 - 6) = 2x - 4$ となるので、(ウ) は $2x - 4$ である。

次に、関数 $y = p(x)$ について考える。$a = 2, b = 44$ より、

$$p(x) = 2x^3 - 6x^2 - 18x + 44$$

これを微分すると、

$$\begin{aligned} p'(x) &= 6x^2 - 12x - 18 \\ &= 6(x^2 - 2x - 3) \\ &= 6(x - 3)(x + 1) \end{aligned}$$

$p'(x) = 0$ となるのは $x = 3, -1$ のときである。 $y = p(x)$ の増減を調べると、$p'(x)$ は下に凸な放物線であるから、$x < -1$ のとき $p'(x) > 0$、$-1 < x < 3$ のとき $p'(x) < 0$、$x > 3$ のとき $p'(x) > 0$ となる。したがって、関数 $y = p(x)$ は $x = -1$ で極大、 $x = 3$ で極小となる。

よって、関数 $y = p(x)$ は $x = -1$ で極大になるので、(エ) は $-1$ である。

解説

多項式の決定と微分の基本的な問題である。多項式の割り算においては、実際に筆算を行って余りを比較する方法と、商を文字でおいて恒等式を作る方法がある。本問では商の形を $ax + c$ と設定することで、展開と係数比較によりスムーズに計算を進めることができる。後半の極値に関する問いは、定まった関数を微分して増減表や導関数の符号変化を調べるという定石通りの手順で完答できる。