数学2 グラフ・増減・極値問題 12 解説

方針・初手

(1) は、3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件と、3次関数が極値をもつ条件との関連に着目する。または、解と係数の関係を利用して直接判別式を評価する。 (2) は、$f'(x)=0$ の解についての対称式の値を求める問題である。解と係数の関係から基本対称式の値を求め、対称式の変形公式を用いる。 (3) は、(2) で得た結果を利用して両辺を直接計算し、等しいことを示す。(1)の導関数を用いて多項式の割り算を行い、次数を下げる手法も計算量削減に有効である。

解法1

(1)

3次方程式 $f(x)=0$ が異なる3つの実数解をもつため、3次関数 $y=f(x)$ のグラフは $x$ 軸と異なる3点で交わる。

このためには、関数 $f(x)$ は極大値と極小値をもたなければならない。

関数が極値をもつための条件は、その導関数 $f'(x)=0$ が符号変化を伴う実数解を2つもつことである。

ここで、$f(x) = x^3+ax^2+bx+c$ より導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = 3x^2+2ax+b$$

$f'(x)$ は2次式であるから、方程式 $f'(x)=0$ は異なる2つの実数解をもつ。

(2)

方程式 $f'(x) = 3x^2+2ax+b = 0$ の異なる2つの実数解が $\alpha, \beta$ であるから、解と係数の関係より以下の式が成り立つ。

$$\alpha + \beta = -\frac{2}{3}a$$

$$\alpha\beta = \frac{b}{3}$$

これらを用いて、$\alpha^2+\beta^2$ と $\alpha^3+\beta^3$ をそれぞれ計算する。

$$\begin{aligned} \alpha^2+\beta^2 &= (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta \\ &= \left(-\frac{2}{3}a\right)^2 - 2 \cdot \frac{b}{3} \\ &= \frac{4}{9}a^2 - \frac{2}{3}b \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \alpha^3+\beta^3 &= (\alpha+\beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha+\beta) \\ &= \left(-\frac{2}{3}a\right)^3 - 3 \cdot \frac{b}{3} \cdot \left(-\frac{2}{3}a\right) \\ &= -\frac{8}{27}a^3 + \frac{2}{3}ab \end{aligned}$$

(3)

(2) で求めた $\alpha+\beta = -\frac{2}{3}a$ を用いると、示すべき等式の左辺の変数は以下のように表される。

$$\frac{\alpha+\beta}{2} = -\frac{a}{3}$$

これを $f(x)$ に代入して、左辺を計算する。

$$\begin{aligned} f\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) &= f\left(-\frac{a}{3}\right) \\ &= \left(-\frac{a}{3}\right)^3 + a\left(-\frac{a}{3}\right)^2 + b\left(-\frac{a}{3}\right) + c \\ &= -\frac{a^3}{27} + \frac{a^3}{9} - \frac{ab}{3} + c \\ &= \frac{2}{27}a^3 - \frac{1}{3}ab + c \end{aligned}$$

次に、右辺について $f(\alpha)+f(\beta)$ を計算する。

$$\begin{aligned} f(\alpha)+f(\beta) &= (\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c) + (\beta^3+a\beta^2+b\beta+c) \\ &= (\alpha^3+\beta^3) + a(\alpha^2+\beta^2) + b(\alpha+\beta) + 2c \end{aligned}$$

ここに (2) の結果を代入する。

$$\begin{aligned} f(\alpha)+f(\beta) &= \left(-\frac{8}{27}a^3 + \frac{2}{3}ab\right) + a\left(\frac{4}{9}a^2 - \frac{2}{3}b\right) + b\left(-\frac{2}{3}a\right) + 2c \\ &= -\frac{8}{27}a^3 + \frac{2}{3}ab + \frac{4}{9}a^3 - \frac{2}{3}ab - \frac{2}{3}ab + 2c \\ &= \left(-\frac{8}{27} + \frac{12}{27}\right)a^3 - \frac{2}{3}ab + 2c \\ &= \frac{4}{27}a^3 - \frac{2}{3}ab + 2c \end{aligned}$$

これを2で割ると右辺となる。

$$\begin{aligned} \frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} &= \frac{1}{2}\left(\frac{4}{27}a^3 - \frac{2}{3}ab + 2c\right) \\ &= \frac{2}{27}a^3 - \frac{1}{3}ab + c \end{aligned}$$

以上より、左辺と右辺の計算結果が一致するため、与えられた等式は成立する。

解法2

(1)と(3)について、別のアプローチを示す。(2)は解法1と同様とする。

(1)

方程式 $f(x)=0$ の異なる3つの実数解を $p, q, r$ とおく。

解と係数の関係より、以下の式が成り立つ。

$$p+q+r = -a$$

$$pq+qr+rp = b$$

方程式 $f'(x) = 3x^2+2ax+b = 0$ の判別式を $D$ とすると、実数解の個数を調べるために $\frac{D}{4}$ を計算する。

$$\frac{D}{4} = a^2 - 3b$$

ここに解と係数の関係で得た式を代入する。

$$\begin{aligned} \frac{D}{4} &= (-p-q-r)^2 - 3(pq+qr+rp) \\ &= p^2+q^2+r^2 + 2pq+2qr+2rp - 3pq-3qr-3rp \\ &= p^2+q^2+r^2 - pq - qr - rp \\ &= \frac{1}{2}\{(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2\} \end{aligned}$$

$p, q, r$ は互いに異なる実数であるから、$p-q \neq 0$、$q-r \neq 0$、$r-p \neq 0$ であり、平方の和は必ず正となる。

したがって、$\frac{D}{4} > 0$ であり、方程式 $f'(x)=0$ は異なる2つの実数解をもつ。

(3)

多項式 $f(x)$ を $f'(x) = 3x^2+2ax+b$ で割ると、商が $\frac{1}{3}x + \frac{a}{9}$、余りが $\frac{2}{3}\left(b-\frac{a^2}{3}\right)x + c - \frac{ab}{9}$ となる。

これを等式で表すと以下のようになる。

$$f(x) = f'(x)\left(\frac{1}{3}x + \frac{a}{9}\right) + \frac{2}{3}\left(b-\frac{a^2}{3}\right)x + c - \frac{ab}{9}$$

$\alpha, \beta$ は $f'(x)=0$ の解であるから、$f'(\alpha)=0$ および $f'(\beta)=0$ が成り立つ。

これを上の恒等式に代入することで、3次式の値を1次式の値に帰着できる。

$$f(\alpha) = \frac{2}{3}\left(b-\frac{a^2}{3}\right)\alpha + c - \frac{ab}{9}$$

$$f(\beta) = \frac{2}{3}\left(b-\frac{a^2}{3}\right)\beta + c - \frac{ab}{9}$$

辺々を足し合わせると以下のようになる。

$$f(\alpha)+f(\beta) = \frac{2}{3}\left(b-\frac{a^2}{3}\right)(\alpha+\beta) + 2c - \frac{2ab}{9}$$

ここで、$\alpha+\beta = -\frac{2}{3}a$ を代入する。

$$\begin{aligned} f(\alpha)+f(\beta) &= \frac{2}{3}\left(b-\frac{a^2}{3}\right)\left(-\frac{2}{3}a\right) + 2c - \frac{2ab}{9} \\ &= -\frac{4}{9}ab + \frac{4}{27}a^3 + 2c - \frac{2ab}{9} \\ &= \frac{4}{27}a^3 - \frac{2}{3}ab + 2c \end{aligned}$$

これを2で割ることで右辺が求まる。

$$\frac{f(\alpha)+f(\beta)}{2} = \frac{2}{27}a^3 - \frac{1}{3}ab + c$$

一方、左辺は $\frac{\alpha+\beta}{2} = -\frac{a}{3}$ より $f\left(-\frac{a}{3}\right)$ を計算する。

このとき、割り算の等式において $x = -\frac{a}{3}$ を代入すると、商の項 $\frac{1}{3}x + \frac{a}{9}$ が $0$ になる。

$$\begin{aligned} f\left(-\frac{a}{3}\right) &= f'\left(-\frac{a}{3}\right) \cdot 0 + \frac{2}{3}\left(b-\frac{a^2}{3}\right)\left(-\frac{a}{3}\right) + c - \frac{ab}{9} \\ &= -\frac{2}{9}a\left(b-\frac{a^2}{3}\right) + c - \frac{ab}{9} \\ &= -\frac{2}{9}ab + \frac{2}{27}a^3 + c - \frac{ab}{9} \\ &= \frac{2}{27}a^3 - \frac{1}{3}ab + c \end{aligned}$$

以上より、両者が一致するため与式は成立する。

解説

(1)は、3次関数のグラフの形状と極値の存在条件を結びつける基本的な問題である。解法2のように、直接解と係数の関係を用いて判別式の正負を判定するアプローチも代数的に美しい。

(3)の証明で扱っている $x = -\frac{a}{3}$ という点は、3次関数 $y=f(x)$ の変曲点の $x$ 座標にあたる。3次関数のグラフは変曲点に関して点対称であるという性質を持つ。極値をとる2点 $(\alpha, f(\alpha))$ と $(\beta, f(\beta))$ の中点がちょうど変曲点と一致していることを、この等式は数式として表現している。

解法2で用いた「次数を下げる」工夫は、高次方程式の解を代入して値を求める際の定石であり、計算ミスを防ぐために有用である。特に、代入する値が商の因子をちょうど $0$ にするという構造に気づけると、計算がさらに簡潔になる。