数学2 グラフ・増減・極値問題 14 解説

方針・初手

(1)は、与えられた $x$ の値を関数 $f(x)$ の式に直接代入して計算する。この結果が(2)を解くための重要な誘導となる。 (2)は、(1)の結果から因数定理を用いて $f(x)$ を因数分解する。3次関数が $x$ 軸と共有点を2個もつ条件は、3次方程式 $f(x)=0$ が実数解をちょうど2つもつことである。得られた2次方程式の判別式と、解の重複に関する場合分けを行い、$m, n$ が整数であるという条件を利用して絞り込む。 (3)は、(2)で求めた条件式に $m=2$ を代入して $n$ を決定し、$f(x)$ の式を確定させる。その後、導関数 $f'(x)$ を求めて増減を調べ、極小値を計算する。

解法1

(1) $f(x)$ に $x = \frac{5}{4}$ を代入する。

$$\begin{aligned} f\left(\frac{5}{4}\right) &= 4\left(\frac{5}{4}\right)^3 + (4m-5)\left(\frac{5}{4}\right)^2 - (5m-4n)\left(\frac{5}{4}\right) - 5n \\ &= 4 \cdot \frac{125}{64} + (4m-5) \cdot \frac{25}{16} - \frac{5(5m-4n)}{4} - 5n \\ &= \frac{125}{16} + \frac{25(4m-5)}{16} - \frac{20(5m-4n)}{16} - \frac{80n}{16} \\ &= \frac{125 + 100m - 125 - 100m + 80n - 80n}{16} \\ &= 0 \end{aligned}$$

(2) (1)の結果より $f\left(\frac{5}{4}\right) = 0$ であるから、因数定理により $f(x)$ は $4x-5$ を因数にもつ。 $f(x)$ を $4x-5$ で割ると、商は $x^2 + mx + n$ となる。

$$f(x) = (4x-5)(x^2 + mx + n)$$

関数 $y=f(x)$ のグラフと $x$ 軸の共有点の個数が2である条件は、方程式 $f(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつことである。 $f(x)=0$ の解は $x = \frac{5}{4}$ と、2次方程式 $x^2 + mx + n = 0$ の解であるから、条件を満たすのは次のいずれかの場合である。

(i) $x^2 + mx + n = 0$ が $x = \frac{5}{4}$ 以外の重解をもつ場合 2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = 0$ であるから、

$$m^2 - 4n = 0$$

このとき、重解は $x = -\frac{m}{2}$ である。これが $x = \frac{5}{4}$ と一致すると仮定すると $m = -\frac{5}{2}$ となるが、$m$ は整数であるという条件に矛盾する。したがって、$m^2 - 4n = 0$ を満たす整数 $m, n$ に対し、重解は必ず $x \neq \frac{5}{4}$ となるため、条件を満たす。

(ii) $x^2 + mx + n = 0$ が $x = \frac{5}{4}$ と、それ以外の実数解をもつ場合 $x = \frac{5}{4}$ が $x^2 + mx + n = 0$ の解であるから、代入して整理する。

$$\left(\frac{5}{4}\right)^2 + m\left(\frac{5}{4}\right) + n = 0$$

$$\frac{25}{16} + \frac{5}{4}m + n = 0$$

両辺に $16$ を掛けて移項すると、

$$16n = -20m - 25$$

$$16n = -5(4m+5)$$

$n$ は整数であるから、左辺の $16n$ は偶数である。しかし、$m$ も整数であるため、$4m+5$ は奇数となり、右辺の $-5(4m+5)$ は奇数となる。これは矛盾であるから、条件を満たす整数 $m, n$ の組は存在しない。

以上、(i)、(ii)より、求める条件は $m^2 - 4n = 0$ である。

(3) $m = 2$ のとき、(2)で求めた条件 $m^2 - 4n = 0$ より、

$$2^2 - 4n = 0$$

$$n = 1$$

このとき、$f(x)$ は次のように定まる。

$$\begin{aligned} f(x) &= 4x^3 + (4 \cdot 2 - 5)x^2 - (5 \cdot 2 - 4 \cdot 1)x - 5 \cdot 1 \\ &= 4x^3 + 3x^2 - 6x - 5 \end{aligned}$$

$f(x)$ を $x$ について微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= 12x^2 + 6x - 6 \\ &= 6(2x^2 + x - 1) \\ &= 6(2x-1)(x+1) \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = -1, \frac{1}{2}$ である。 $f'(x)$ の符号は、$x < -1$ の範囲で正、$-1 < x < \frac{1}{2}$ の範囲で負、$x > \frac{1}{2}$ の範囲で正となる。したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大、$x = \frac{1}{2}$ で極小となる。求める極小値は $f\left(\frac{1}{2}\right)$ である。

$$\begin{aligned} f\left(\frac{1}{2}\right) &= 4\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{1}{2}\right) - 5 \\ &= 4 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{4} - 3 - 5 \\ &= \frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 8 \\ &= \frac{5}{4} - \frac{32}{4} \\ &= -\frac{27}{4} \end{aligned}$$