数学2 最大最小・解の個数問題 3 解説

方針・初手

被積分関数は $x$ の関数であり、$a$ は定数として扱う。まずは指示通りに定積分を計算し、$g(a)$ を $a$ の関数として具体的に求める。その後、微分を用いて導関数 $g'(a)$ を求め、指定された区間における $g(a)$ の増減表を作成して最大値と最小値を特定する。

解法1

まず、定積分を計算して $g(a)$ を求める。

$$\begin{aligned} g(a) &= \int_{0}^{1} \left( x^2 - ax + \frac{a^3}{6} \right) dx \\ &= \left[ \frac{1}{3}x^3 - \frac{a}{2}x^2 + \frac{a^3}{6}x \right]_{0}^{1} \\ &= \frac{1}{3} \cdot 1^3 - \frac{a}{2} \cdot 1^2 + \frac{a^3}{6} \cdot 1 - 0 \\ &= \frac{1}{6}a^3 - \frac{1}{2}a + \frac{1}{3} \end{aligned}$$

次に、$g(a)$ の増減を調べるために $a$ で微分する。

$$\begin{aligned} g'(a) &= \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2}(a^2 - 1) \\ &= \frac{1}{2}(a+1)(a-1) \end{aligned}$$

$g'(a) = 0$ となるのは $a = -1, 1$ のときである。区間 $-\frac{3}{2} \leqq a \leqq \frac{3}{2}$ における $g(a)$ の増減表は以下のようになる。

$a$	$-\frac{3}{2}$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$\frac{3}{2}$
$g'(a)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(a)$	$\frac{25}{48}$	$\nearrow$	$\frac{2}{3}$	$\searrow$	$0$	$\nearrow$	$\frac{7}{48}$

ここで、区間の両端および極値における $g(a)$ の値はそれぞれ以下の通り計算した。

$$\begin{aligned} g\left(-\frac{3}{2}\right) &= \frac{1}{6}\left(-\frac{27}{8}\right) - \frac{1}{2}\left(-\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{3} = -\frac{9}{16} + \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = -\frac{27}{48} + \frac{36}{48} + \frac{16}{48} = \frac{25}{48} \\ g(-1) &= \frac{1}{6}(-1)^3 - \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{3} = -\frac{1}{6} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \\ g(1) &= \frac{1}{6}\cdot 1^3 - \frac{1}{2}\cdot 1 + \frac{1}{3} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = 0 \\ g\left(\frac{3}{2}\right) &= \frac{1}{6}\left(\frac{27}{8}\right) - \frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}\right) + \frac{1}{3} = \frac{9}{16} - \frac{3}{4} + \frac{1}{3} = \frac{27}{48} - \frac{36}{48} + \frac{16}{48} = \frac{7}{48} \end{aligned}$$

増減表と計算した値より、最大値と最小値を特定する。極大値 $\frac{2}{3} = \frac{32}{48}$ と右端の値 $\frac{7}{48}$ を比較すると極大値の方が大きく、これが最大値となる。また、極小値 $0$ と左端の値 $\frac{25}{48}$ を比較すると極小値の方が小さく、これが最小値となる。

したがって、$a = -1$ のとき最大値 $\frac{2}{3}$ をとり、$a = 1$ のとき最小値 $0$ をとる。

解説

定積分で表された関数の最大・最小を求める典型的な問題である。被積分関数の中に積分変数 $x$ と定数扱いすべき変数 $a$ が混在しているため、積分実行時にどちらの文字で積分しているかを見失わないことが重要である。積分結果が $a$ の3次関数となるため、その後の処理は数学IIにおける微分法の基本手順に従う。増減表を書く際、閉区間での最大値・最小値を求めるため、極値だけでなく区間の両端における関数の値も丁寧に計算し、大小を比較する必要がある。