数学2 最大最小・解の個数問題 6 解説

方針・初手

与えられた不等式 $|x+y|+|x-y| \leqq 2$ から $x$ と $y$ のとり得る値の範囲を求める。その後、求まった $x$ の範囲において、2次関数 $f(x) = x^2 - 2ax$ の最大値と最小値を $a$ の値で場合分けして求める。問題文の「$y = x^2 - 2ax$」は、条件式の $y$ とは独立した関数の値（値域）を指していると解釈して処理する。

解法1

条件式 $|x+y|+|x-y| \leqq 2$ は、両辺が0以上であるため、両辺を2乗しても同値である。

$$(|x+y|+|x-y|)^2 \leqq 4$$

左辺を展開して整理する。

$$(x+y)^2 + 2|x+y||x-y| + (x-y)^2 \leqq 4$$

$$(x^2 + 2xy + y^2) + 2|x^2 - y^2| + (x^2 - 2xy + y^2) \leqq 4$$

$$2x^2 + 2y^2 + 2|x^2 - y^2| \leqq 4$$

両辺を2で割る。

$$x^2 + y^2 + |x^2 - y^2| \leqq 2$$

ここで、絶対値の中身の符号によって場合分けを行う。

(i) $x^2 - y^2 \geqq 0$ （すなわち $|x| \geqq |y|$）のとき不等式は $x^2 + y^2 + (x^2 - y^2) \leqq 2$ となる。これを整理する。

$$2x^2 \leqq 2$$

$$x^2 \leqq 1 \iff -1 \leqq x \leqq 1$$

このとき、仮定の $|x| \geqq |y|$ と合わせて、$-1 \leqq y \leqq 1$ も満たされる。

(ii) $x^2 - y^2 < 0$ （すなわち $|x| < |y|$）のとき不等式は $x^2 + y^2 - (x^2 - y^2) \leqq 2$ となる。これを整理する。

$$2y^2 \leqq 2$$

$$y^2 \leqq 1 \iff -1 \leqq y \leqq 1$$

このとき、仮定の $|x| < |y|$ と合わせて、$-1 \leqq x \leqq 1$ も満たされる。

(i)、(ii) より、条件を満たす $(x, y)$ の範囲は $-1 \leqq x \leqq 1$ かつ $-1 \leqq y \leqq 1$ である。したがって、$x$ のとり得る値の範囲は $-1 \leqq x \leqq 1$ である。

次に、この範囲における $f(x) = x^2 - 2ax$ の最大値と最小値を求める。関数 $f(x)$ を平方完成する。

$$f(x) = (x-a)^2 - a^2$$

この放物線の軸は $x=a$ であり、下に凸である。定義域は $-1 \leqq x \leqq 1$ であり、その中央は $x=0$ である。

最大値については、軸 $x=a$ と定義域の中央 $x=0$ の位置関係で場合分けを行う。

(ア) $a < 0$ のとき軸は定義域の中央より左にあるため、$x=1$ で最大となる。最大値は $f(1) = 1 - 2a$ である。

(イ) $a = 0$ のとき軸は定義域の中央と一致するため、$x = \pm 1$ で最大となる。最大値は $f(\pm 1) = 1$ である。

(ウ) $a > 0$ のとき軸は定義域の中央より右にあるため、$x=-1$ で最大となる。最大値は $f(-1) = 1 + 2a$ である。

最小値については、軸 $x=a$ と定義域 $-1 \leqq x \leqq 1$ の位置関係で場合分けを行う。

(エ) $a < -1$ のとき軸は定義域の左外にあるため、$x=-1$ で最小となる。最小値は $f(-1) = 1 + 2a$ である。

(オ) $-1 \leqq a \leqq 1$ のとき軸は定義域内にあるため、頂点 $x=a$ で最小となる。最小値は $f(a) = -a^2$ である。

(カ) $1 < a$ のとき軸は定義域の右外にあるため、$x=1$ で最小となる。最小値は $f(1) = 1 - 2a$ である。

解法2

変数変換を利用して、不等式 $|x+y|+|x-y| \leqq 2$ の表す領域を求める。

$X = x+y$、$Y = x-y$ とおくと、与えられた不等式は次のように表される。

$$|X| + |Y| \leqq 2$$

これは $XY$ 平面上において、4点 $(2, 0)$、$(0, 2)$、$(X, Y) = (-2, 0)$、$(0, -2)$ を頂点とする正方形の周および内部を表す。ここで、元の変数 $x, y$ について解くと、

$$x = \frac{X+Y}{2}, \quad y = \frac{X-Y}{2}$$

となる。したがって、$(x, y)$ 平面における領域の頂点は、上記の $(X, Y)$ の4頂点を代入することで得られ、それぞれ $(1, 1)$、$(-1, 1)$、$(-1, -1)$、$(1, -1)$ となる。これは $xy$ 平面上において、4直線 $x=1, x=-1, y=1, y=-1$ で囲まれた正方形の周および内部である。ゆえに、$x$ のとり得る値の範囲は $-1 \leqq x \leqq 1$ である。