数学2 最大最小・解の個数 問題 8 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ を微分し、$f(x)$ が極値をもつ条件を確認する。関数が極値をもつためには導関数 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解をもつ必要があり、これにより $a \neq 0$ が確定する。

$a$ の符号によって3次関数のグラフの概形が異なり、極大と極小をとる $x$ の値の大小関係が変わるため、$a > 0$ の場合と $a < 0$ の場合に分けて条件式を立てる。

解法1

関数 $f(x) = ax^3 - x^2 + b$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 3ax^2 - 2x = x(3ax - 2)$$

となる。

$f(x)$ は極大値と極小値をもつので、$f'(x) = 0$ は異なる2つの実数解をもつ。よって、$a \neq 0$ である。このとき、$f'(x) = 0$ の解は $x = 0, \frac{2}{3a}$ となる。

$a$ の符号によって極値をとる $x$ の値が異なるため、場合分けを行う。

(i) $a > 0$ のとき

$0 < \frac{2}{3a}$ である。$f'(x)$ の符号は $x = 0$ の前後で正から負へ、$x = \frac{2}{3a}$ の前後で負から正へと変化する。

したがって、$f(x)$ は $x = 0$ で極大、$x = \frac{2}{3a}$ で極小となる。極大値が 3、極小値が 0 であるから、

$$\begin{cases} f(0) = b = 3 \\ f\left(\frac{2}{3a}\right) = a\left(\frac{2}{3a}\right)^3 - \left(\frac{2}{3a}\right)^2 + b = 0 \end{cases}$$

が成り立つ。第1式より $b = 3$ である。これを第2式に代入して整理すると、

$$a \cdot \frac{8}{27a^3} - \frac{4}{9a^2} + 3 = 0$$

$$\frac{8}{27a^2} - \frac{12}{27a^2} + 3 = 0$$

$$-\frac{4}{27a^2} + 3 = 0$$

$$27a^2 = \frac{4}{3}$$

$$a^2 = \frac{4}{81}$$

となる。$a > 0$ であるから、$a = \frac{2}{9}$ を得る。

(ii) $a < 0$ のとき

$\frac{2}{3a} < 0$ である。$f'(x)$ の符号は $x = \frac{2}{3a}$ の前後で負から正へ、$x = 0$ の前後で正から負へと変化する。

したがって、$f(x)$ は $x = \frac{2}{3a}$ で極小、$x = 0$ で極大となる。極大値が 3、極小値が 0 であるから、

$$\begin{cases} f(0) = b = 3 \\ f\left(\frac{2}{3a}\right) = a\left(\frac{2}{3a}\right)^3 - \left(\frac{2}{3a}\right)^2 + b = 0 \end{cases}$$

が成り立つ。第1式より $b = 3$ であり、第2式は (i) と全く同じ式になるため、これを解くと $a^2 = \frac{4}{81}$ となる。

$a < 0$ であるから、$a = -\frac{2}{9}$ を得る。

(i), (ii) より、求める定数 $a, b$ の値は $a = \pm\frac{2}{9}, b = 3$ となる。

解説

3次関数が極値をもつ条件と、その極値を決定する標準的な問題である。

$x^3$ の係数 $a$ が文字で与えられているため、$f(x)$ が3次関数であること（$a \neq 0$）を明記する必要がある。また、$a$ の符号によって極大・極小をとる $x$ の順序が逆転するため、必ず場合分けをして論理を進めることが重要である。

結果的にどちらの場合でも $x = 0$ で極大値をとることになるが、場合分けを省略すると論理の飛躍とみなされるため注意したい。

答え

ア: $\pm\frac{2}{9}$

イ: $3$