数学2 最大最小・解の個数問題 9 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ を微分して増減を調べる。文字定数 $k$ が含まれているため、極値をとる $x$ の値が $k$ によって変化する。極値をとる $x$ の値が区間 $0 \leqq x \leqq 1$ に含まれるかどうかで最小値が変わる。また、区間の両端における関数値の大小関係により最大値が変わる。これらを基準に $k$ の値で場合分けを行う。

解法1

$f(x) = 3x^3 - k^2x + 2$ を $x$ について微分する。

$$f'(x) = 9x^2 - k^2 = (3x - k)(3x + k)$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = \pm \frac{k}{3}$ である。

$k > 0$ であるから、$x \geqq 0$ における $f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{k}{3}$	$\cdots$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$2$	$\searrow$	極小	$\nearrow$

ここで、区間の両端における値はそれぞれ以下の通りである。

$$f(0) = 2$$

$$f(1) = 3 - k^2 + 2 = 5 - k^2$$

また、極小値は以下のようになる。

$$f\left(\frac{k}{3}\right) = 3\left(\frac{k}{3}\right)^3 - k^2\left(\frac{k}{3}\right) + 2 = \frac{k^3}{9} - \frac{k^3}{3} + 2 = 2 - \frac{2}{9}k^3$$

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ における最大値と最小値を求めるために、極小値をとる $x = \frac{k}{3}$ と区間の右端 $x = 1$ の大小関係、および区間の両端の値 $f(0)$ と $f(1)$ の大小関係を調べる。

極小値の位置による場合分けの境界は $\frac{k}{3} = 1$、すなわち $k = 3$ である。両端の値の大小関係は、その差の符号を調べればよい。

$$f(0) - f(1) = 2 - (5 - k^2) = k^2 - 3$$

したがって、$k^2 - 3 = 0$、すなわち $k > 0$ より $k = \sqrt{3}$ が大小関係が入れ替わる境界となる。これらを踏まえ、以下の3つの場合に分ける。

(i) $0 < k < \sqrt{3}$ のとき

$0 < \frac{k}{3} < \frac{\sqrt{3}}{3} < 1$ であり、極小値をとる $x = \frac{k}{3}$ は区間 $0 \leqq x \leqq 1$ に含まれる。最小値は極小値である $f\left(\frac{k}{3}\right) = 2 - \frac{2}{9}k^3$ となる。また、$k^2 - 3 < 0$ より $f(0) < f(1)$ となるため、最大値は $f(1) = 5 - k^2$ となる。

(ii) $\sqrt{3} \leqq k < 3$ のとき

$0 < \frac{k}{3} < 1$ であり、極小値をとる $x = \frac{k}{3}$ は区間 $0 \leqq x \leqq 1$ に含まれる。最小値は極小値である $f\left(\frac{k}{3}\right) = 2 - \frac{2}{9}k^3$ となる。また、$k^2 - 3 \geqq 0$ より $f(0) \geqq f(1)$ となるため、最大値は $f(0) = 2$ となる。

(iii) $k \geqq 3$ のとき

$\frac{k}{3} \geqq 1$ であり、区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において $f'(x) \leqq 0$ となる。すなわち、$f(x)$ はこの区間で単調に減少する。したがって、最大値は $f(0) = 2$ となり、最小値は $f(1) = 5 - k^2$ となる。

解説

文字を含む3次関数の最大値・最小値を求める典型問題である。最大値と最小値で場合分けの境界が異なることに注意する。最小値は「極小値が区間内にあるかどうか」で決まり、その境界は $k=3$ である。一方、最大値は「区間の両端の値のどちらが大きいか」で決まり、その境界は $k=\sqrt{3}$ である。この2つの境界を組み合わせて3つの場合に分けて整理すればよい。