数学2 最大最小・解の個数問題 10 解説

方針・初手

与えられた3次方程式の3つの解がすべて整数であることを利用して、条件を絞り込みます。

解法として主に2つのアプローチが考えられます。1つ目は、解と係数の関係を用いて方程式の解に関する連立方程式を立て、それを満たす整数の組を求める方法です。2つ目は、方程式を $k = -x^3 + 13x$ のように定数分離の形に変形し、関数 $y = -x^3 + 13x$ のグラフ上の格子点に注目する方法です。

解法1

3次方程式 $x^3 - 13x + k = 0$ の3つの異なる整数解を $\alpha, \beta, \gamma$ とする。

解と係数の関係より、以下の3つの式が成り立つ。

$$\begin{cases} \alpha + \beta + \gamma = 0 \\ \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -13 \\ \alpha\beta\gamma = -k \end{cases}$$

第1式より $\gamma = -(\alpha + \beta)$ となる。これを第2式に代入する。

$$\alpha\beta + (\alpha + \beta)\{-(\alpha + \beta)\} = -13$$

展開して整理すると、以下の式を得る。

$$\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2 = 13$$

これを $\alpha$ についての2次方程式とみなす。

$$\alpha^2 + \beta\alpha + (\beta^2 - 13) = 0$$

$\alpha$ は整数であり、実数として存在するため、この2次方程式の判別式を $D$ とすると、$D \ge 0$ を満たさなければならない。

$$D = \beta^2 - 4 \cdot 1 \cdot (\beta^2 - 13) = 52 - 3\beta^2 \ge 0$$

これを解くと、以下のようになる。

$$\beta^2 \le \frac{52}{3} = 17.3\dots$$

$\beta$ は整数であるから、$\beta$ がとり得る値は $\beta = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ である。それぞれの場合について、$\alpha$ が整数となるかを調べる。

(i) $\beta = 0$ のとき

$$\alpha^2 - 13 = 0$$

これを満たす整数 $\alpha$ は存在しない。

(ii) $\beta = 1$ または $\beta = -1$ のとき

$\beta = 1$ のとき、$\alpha^2 + \alpha - 12 = 0$ より $(\alpha + 4)(\alpha - 3) = 0$ となり、$\alpha = -4, 3$ である。

$\beta = -1$ のとき、$\alpha^2 - \alpha - 12 = 0$ より $(\alpha - 4)(\alpha + 3) = 0$ となり、$\alpha = -3, 4$ である。

(iii) $\beta = 2$ または $\beta = -2$ のとき

$\beta = 2$ のとき、$\alpha^2 + 2\alpha - 9 = 0$ となり、これを満たす整数 $\alpha$ は存在しない。

$\beta = -2$ のとき、$\alpha^2 - 2\alpha - 9 = 0$ となり、これも満たす整数 $\alpha$ は存在しない。

(iv) $\beta = 3$ または $\beta = -3$ のとき

$\beta = 3$ のとき、$\alpha^2 + 3\alpha - 4 = 0$ より $(\alpha + 4)(\alpha - 1) = 0$ となり、$\alpha = -4, 1$ である。

$\beta = -3$ のとき、$\alpha^2 - 3\alpha - 4 = 0$ より $(\alpha - 4)(\alpha + 1) = 0$ となり、$\alpha = -1, 4$ である。

(v) $\beta = 4$ または $\beta = -4$ のとき

$\beta = 4$ のとき、$\alpha^2 + 4\alpha + 3 = 0$ より $(\alpha + 3)(\alpha + 1) = 0$ となり、$\alpha = -3, -1$ である。

$\beta = -4$ のとき、$\alpha^2 - 4\alpha + 3 = 0$ より $(\alpha - 3)(\alpha - 1) = 0$ となり、$\alpha = 1, 3$ である。

以上より、整数解の組 $(\alpha, \beta)$ に対応する $\gamma$ を $\gamma = -(\alpha + \beta)$ によって求め、解の集合 $\{\alpha, \beta, \gamma\}$ を書き出すと以下の2パターンに集約される。

集合1：$\{-4, 1, 3\}$ 集合2：$\{-3, -1, 4\}$

どちらの集合も3つの解がすべて異なる整数であるという条件を満たしている。それぞれについて、$k = -\alpha\beta\gamma$ を用いて $k$ の値を求める。

集合が $\{-4, 1, 3\}$ のとき、

$$k = -(-4) \cdot 1 \cdot 3 = 12$$

集合が $\{-3, -1, 4\}$ のとき、

$$k = -(-3) \cdot (-1) \cdot 4 = -12$$

解法2

与えられた方程式 $x^3 - 13x + k = 0$ を $k$ について解き、定数分離の形にする。

$$k = -x^3 + 13x$$

ここで、関数 $f(x) = -x^3 + 13x$ を考える。$y = f(x)$ のグラフと直線 $y = k$ が、異なる3つの整数 $x$ で交わればよい。

$f(x)$ の増減を調べるため、導関数 $f'(x)$ を求める。

$$f'(x) = -3x^2 + 13$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = \pm\sqrt{\frac{13}{3}}$ である。$4 < \frac{13}{3} < 9$ より $2 < \sqrt{\frac{13}{3}} < 3$ であるから、$f(x)$ は $x = -2$ と $x = -3$ の間、および $x = 2$ と $x = 3$ の間で極値をとる。

極値の外側では、$x \le -3$ の範囲で $f(x)$ は単調減少、$x \ge 3$ の範囲で $f(x)$ は単調減少する。

$x$ は整数であるから、$x$ に具体的な整数値を代入して $f(x)$ の値を調べる。

$$f(-4) = -(-64) + 13 \cdot (-4) = 64 - 52 = 12$$

$$f(-3) = -(-27) + 13 \cdot (-3) = 27 - 39 = -12$$

$$f(-2) = -(-8) + 13 \cdot (-2) = 8 - 26 = -18$$

$$f(-1) = -(-1) + 13 \cdot (-1) = 1 - 13 = -12$$

$$f(0) = 0$$

$$f(1) = -1 + 13 \cdot 1 = 12$$

$$f(2) = -8 + 13 \cdot 2 = 18$$

$$f(3) = -27 + 13 \cdot 3 = 12$$

$$f(4) = -64 + 13 \cdot 4 = -12$$

$x \le -4$ の範囲では $f(x)$ は単調減少し $f(-4) = 12$ なので、これより左で $f(x) \le 12$ となる整数 $x$ は存在しない。同様に、$x \ge 4$ の範囲でも $f(x)$ は単調減少し $f(4) = -12$ なので、これより右で $f(x) \ge -12$ となる整数 $x$ は存在しない。

計算結果から、$f(x)$ が同じ値をとる3つの異なる整数 $x$ の組を探すと、以下のようになる。

$f(x) = 12$ となるのは $x = -4, 1, 3$ のときである。

$f(x) = -12$ となるのは $x = -3, -1, 4$ のときである。

したがって、$y = f(x)$ と $y = k$ が異なる3つの整数の交点をもつための $k$ の値は $k = 12$ または $k = -12$ である。