トップ› 基礎問題› 数学2› 微分法› 最大最小・解の個数› 問題 11

数学2 最大最小・解の個数問題 11 解説

方針・初手

与えられた3次関数を微分し、導関数 $f'(x)$ の符号変化から関数の増減を調べる。指定された定義域 $x \geqq 0$ における増減表を作成し、グラフの形状を把握することで最小値を特定する。

解法1

与えられた関数は以下の通りである。

$$f(x) = x^3 - 3x^2$$

この関数を $x$ について微分すると、導関数は次のようになる。

$$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値は、$x = 0, 2$ である。

$x \geqq 0$ の範囲において $f(x)$ の増減表を作成すると、次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$0$	$\searrow$	$-4$	$\nearrow$

ここで、$x = 2$ のときの関数の値は次のように計算できる。

$$f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2^2 = 8 - 12 = -4$$

増減表より、$x \geqq 0$ の範囲において関数 $f(x)$ は $x = 2$ で極小となり、かつその値が最小値となることがわかる。

解説

3次関数の最小値を求める基本的な問題である。微分を用いて導関数を求め、増減表を正確に作成することが解答の要となる。本問では定義域が $x \geqq 0$ と制限されているため、その範囲内での増減にのみ着目すればよい。増減表から、関数が減少から増加に転じる点（極小点）が定義域内における唯一の谷であり、それが全体の最小値を与えていることが読み取れる。