数学2 最大最小・解の個数 問題 13 解説

方針・初手

• 3次方程式が異なる3つの実数解をもつ条件を考える。
• 3次関数が極大値と極小値をもち、それらが異符号となる（極大値と極小値の積が負になる）条件を立式する。
• あるいは、定数 $k$ を分離して、固定された3次関数のグラフと水平な直線 $y=k$ の共有点の個数問題に帰着させる。

解法1

関数 $f(x)$ を微分する。

$$f'(x) = 3x^2 + 3x = 3x(x+1)$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = -1, 0$ となる。

3次方程式 $f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつための条件は、関数 $f(x)$ が極値をもち、かつ（極大値）$\times$（極小値）$< 0$ となることである。

関数 $f(x)$ の極値を計算する。

$$\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 - k = \frac{1}{2} - k \\ f(0) &= -k \end{aligned}$$

したがって、求める条件は以下の不等式を満たすことである。

$$\left(\frac{1}{2} - k\right)(-k) < 0$$

これを整理して解く。

$$k\left(k - \frac{1}{2}\right) < 0$$

よって、求める $k$ の値の範囲は次のようになる。

$$0 < k < \frac{1}{2}$$

解法2

方程式 $f(x) = 0$ を定数 $k$ について整理する。

$$k = x^3 + \frac{3}{2}x^2$$

ここで、$g(x) = x^3 + \frac{3}{2}x^2$ とおく。

与えられた方程式が異なる3つの実数解をもつ条件は、曲線 $y = g(x)$ と直線 $y = k$ が異なる3つの共有点をもつことである。

関数 $g(x)$ を微分する。

$$g'(x) = 3x^2 + 3x = 3x(x+1)$$

$g'(x) = 0$ とすると、$x = -1, 0$ となる。

$g(x)$ は $x = -1$ で極大値 $g(-1) = \frac{1}{2}$ をとり、$x = 0$ で極小値 $g(0) = 0$ をとる。

曲線 $y = g(x)$ と直線 $y = k$ が異なる3つの共有点をもつのは、直線 $y = k$ が極小値と極大値の間を動くときである。

したがって、求める $k$ の値の範囲は極小値と極大値の間の値をとる範囲となる。

$$0 < k < \frac{1}{2}$$

解説

• 3次方程式の実数解の個数を問う問題における代表的な2つの解法を示した。
• 解法1は「（極大値）$\times$（極小値）$< 0$」という条件を用いる方法であり、計算がシンプルにまとまりやすい。
• 解法2の「定数分離」は、文字定数が単独で存在する場合に特に有効であり、視覚的に解の個数の変化を捉えやすい。応用範囲が広いため、確実に習得しておきたい。

答え

$$0 < k < \frac{1}{2}$$