数学2 最大最小・解の個数問題 17 解説

方針・初手

導関数を求めて $f'(x)=0$ となる $x$ を探し、増減を調べて極大値・極小値を求めます。 3次関数のグラフの概形と、指定された区間 $0 \leqq x \leqq 1$ の位置関係から最大値を考えます。最大値の候補となるのは、「極大値」または「区間の右端（$x=1$）での値」です。問題文の誘導に従って、極大値と同じ値をとる $x$ 座標を求め、それを基準に場合分けを行います。

解法1

$y = f(x)$ とおきます。与えられた関数は、

$$f(x) = x^3 - 2ax^2 + a^2x$$

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 4ax + a^2$$

$$f'(x) = (3x - a)(x - a)$$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = \frac{a}{3}, a$ のときです。 $a > 0$ であるから、$0 < \frac{a}{3} < a$ となります。したがって、$f(x)$ の増減は以下のようになります。

$x < \frac{a}{3}$ において $f'(x) > 0$ $x = \frac{a}{3}$ において $f'(x) = 0$ （極大） $\frac{a}{3} < x < a$ において $f'(x) < 0$ $x = a$ において $f'(x) = 0$ （極小） $x > a$ において $f'(x) > 0$

これより、$f(x)$ は $x = \frac{a}{3}$ で極大、$x = a$ で極小となります。

極大値は、

$$f\left(\frac{a}{3}\right) = \left(\frac{a}{3}\right)^3 - 2a\left(\frac{a}{3}\right)^2 + a^2\left(\frac{a}{3}\right) = \frac{a^3}{27} - \frac{6a^3}{27} + \frac{9a^3}{27} = \frac{4}{27}a^3$$

極小値は、

$$f(a) = a^3 - 2a^3 + a^3 = 0$$

次に、$x = \frac{a}{3}$ 以外に $y = \frac{4}{27}a^3$ となるような $x$ の値を求めます。方程式 $f(x) = \frac{4}{27}a^3$ を解きます。

$$x^3 - 2ax^2 + a^2x - \frac{4}{27}a^3 = 0$$

関数 $f(x)$ は $x = \frac{a}{3}$ で極大値をとるため、この方程式の左辺は $\left(x - \frac{a}{3}\right)^2$ を因数にもちます。左辺を因数分解すると、

$$\left(x - \frac{a}{3}\right)^2 \left(x - \frac{4}{3}a\right) = 0$$

$x \neq \frac{a}{3}$ より、$x = \frac{4}{3}a$ となります。

続いて、$0 \leqq x \leqq 1$ における最大値 $M(a)$ を求めます。 $x \geqq 0$ の範囲において、最大値の候補となるのは極大値 $f\left(\frac{a}{3}\right)$ または区間の右端における値 $f(1)$ です。区間の右端 $x=1$ における関数の値は、

$$f(1) = 1^3 - 2a \cdot 1^2 + a^2 \cdot 1 = (a-1)^2$$

区間の右端 $x=1$ と、グラフの特徴的な点である $x=\frac{a}{3}$ および $x=\frac{4}{3}a$ との大小関係により場合分けを行います。

(i) $1 \leqq \frac{a}{3}$ すなわち $a \geqq 3$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ は極大値をとる $x$ 座標よりも左側にあり、この区間において $f(x)$ は単調増加します。したがって、最大値は区間の右端でとり、

$$M(a) = f(1) = (a-1)^2$$

(ii) $\frac{a}{3} < 1 \leqq \frac{4}{3}a$ すなわち $\frac{3}{4} \leqq a < 3$ のとき

極大値をとる $x = \frac{a}{3}$ が区間内に含まれ、かつ右端 $x=1$ での値 $f(1)$ は極大値以下となります。したがって、最大値は極大値であり、

$$M(a) = f\left(\frac{a}{3}\right) = \frac{4}{27}a^3$$

(iii) $1 > \frac{4}{3}a$ すなわち $0 < a < \frac{3}{4}$ のとき

極大値をとる $x = \frac{a}{3}$ は区間内に含まれますが、右端 $x=1$ が極大値と同じ値をとる $x = \frac{4}{3}a$ よりも右側に位置するため、$f(1)$ が極大値よりも大きくなります。したがって、最大値は区間の右端でとり、

$$M(a) = f(1) = (a-1)^2$$

解説

文字定数を含む3次関数の最大値・最小値問題における標準的な解法です。区間の幅が固定されており、関数のグラフが $a$ の値によって拡大・縮小するタイプです。最大値の候補が切り替わる境界を見つけるために、極大値と等しい値をとる $x$ 座標を求めることがポイントです。本問では誘導としてそれが設定されているため、それに従って素直に場合分けを行うことで正答にたどり着くことができます。