数学2 最大最小・解の個数問題 18 解説

方針・初手

(1) は、外接円の半径が与えられていることから、正弦定理を用いる方針が自然です。(2) は、(1) で求めた辺の長さを三角形の面積公式に代入し、さらに与えられた置換 $\cos\theta = t$ に従って式を変形します。(3) は、(2) で得られた $t$ の関数の最大値を求める問題に帰着されるため、微分法を用いて増減を調べます。

解法1

(1)

$\triangle\text{ABC}$ の外接円の半径を $R$ とすると、$R=1$ である。 $\triangle\text{ABC}$ において正弦定理より、

$$\frac{\text{BC}}{\sin\angle\text{BAC}} = 2R = 2$$

$\angle\text{BAC} = \theta$ であるから、

$$\text{BC} = 2\sin\theta$$

また、$\triangle\text{ABC}$ は $\text{AB}=\text{AC}$ の二等辺三角形であるから、

$$\angle\text{ABC} = \angle\text{ACB} = \frac{\pi - \theta}{2}$$

同様に正弦定理より、

$$\frac{\text{AB}}{\sin\angle\text{ACB}} = 2$$

$$\text{AB} = 2\sin\left(\frac{\pi - \theta}{2}\right) = 2\cos\frac{\theta}{2}$$

(2)

$\triangle\text{ABC}$ の面積を $S$ とすると、

$$S = \frac{1}{2} \cdot \text{AB} \cdot \text{AC} \sin\angle\text{BAC} = \frac{1}{2} \left(2\cos\frac{\theta}{2}\right)^2 \sin\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2} \sin\theta$$

半角の公式 $\cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}$ を用いると、

$$S = 2 \cdot \frac{1+\cos\theta}{2} \cdot \sin\theta = (1+\cos\theta)\sin\theta$$

ここで、$0 < \theta < \pi$ より $\sin\theta > 0$ であるから、

$$\sin\theta = \sqrt{1 - \cos^2\theta}$$

$\cos\theta = t$ とおくと、$\sin\theta = \sqrt{1-t^2}$ と表せるので、

$$S = (1+t)\sqrt{1-t^2}$$

(3)

$\theta$ は三角形の内角であるから $0 < \theta < \pi$ であり、このとき $-1 < t < 1$ である。 (2) より、$S$ を $t$ の関数とみて $f(t) = (1+t)\sqrt{1-t^2}$ とおく。これを $t$ で微分すると、

$$f'(t) = 1 \cdot \sqrt{1-t^2} + (1+t) \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-t^2}} \cdot (-2t)$$

$$f'(t) = \frac{1-t^2 - t(1+t)}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{-2t^2 - t + 1}{\sqrt{1-t^2}} = \frac{-(2t-1)(t+1)}{\sqrt{1-t^2}}$$

$-1 < t < 1$ の範囲において、$\sqrt{1-t^2} > 0$ かつ $t+1 > 0$ であるため、$f'(t)$ の符号は $-(2t-1)$ の符号と一致する。したがって、$f'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{1}{2}$ のときであり、$-1 < t < \frac{1}{2}$ のとき $f'(t) > 0$、$\frac{1}{2} < t < 1$ のとき $f'(t) < 0$ となる。よって、$f(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大となる。

$t = \cos\theta = \frac{1}{2}$ と $0 < \theta < \pi$ より、$\theta = \frac{\pi}{3}$ である。このときの面積の最大値は、

$$f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(1 + \frac{1}{2}\right) \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \frac{3}{2} \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$$

解法2

(3)の別解（面積の2乗を考える方法）

$S > 0$ であるから、$S$ が最大となるとき、$S^2$ も最大となる。 $g(t) = S^2 = (1+t)^2(1-t^2) = (1+t)^3(1-t)$ とおく。（$-1 < t < 1$）これを $t$ で微分すると、積の微分法より、

$$g'(t) = 3(1+t)^2(1-t) + (1+t)^3(-1) = (1+t)^2 \{ 3(1-t) - (1+t) \} = (1+t)^2 (2 - 4t) = -2(2t-1)(1+t)^2$$

$-1 < t < 1$ の範囲において $(1+t)^2 > 0$ であるため、$g'(t)$ の符号は $-(2t-1)$ の符号と一致する。したがって、$g'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{1}{2}$ のときであり、$g(t)$ は $t = \frac{1}{2}$ のとき最大となる。このとき $\theta = \frac{\pi}{3}$ であり、$S^2$ の最大値は、

$$g\left(\frac{1}{2}\right) = \left(1 + \frac{1}{2}\right)^3 \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{27}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{27}{16}$$

$S > 0$ より、面積の最大値は $\sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。

解説

図形量の最大値・最小値を求める典型的な問題です。外接円の半径が与えられているため、辺の長さを求める手段として正弦定理が有効に機能します。 (3) では、根号を含む関数の微分が求められます。解法1のように直接微分して計算を進めることもできますが、解法2のように「正の量の最大化は、その2乗の最大化と同値である」という性質を利用して根号を外してから微分する手法は、計算ミスを減らすうえで非常に強力なテクニックです。また、面積が最大となる $\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\triangle\text{ABC}$ は正三角形になっています。「円に内接する三角形の面積が最大となるのは正三角形のときである」という有名な事実と結果が一致しているか確認することも、検算として有効です。