数学2 最大最小・解の個数問題 25 解説

方針・初手

(1) は三角関数の合成を用いて $t$ のとりうる範囲を求めます。 (2) は $t = \cos\theta - \sin\theta$ の両辺を2乗することで $\sin\theta\cos\theta$ を $t$ の式で表し、$f(\theta)$ の因数分解形に代入します。 (3) は (2) で得られた $f(\theta)$ の $t$ による表示を $g(t)$ とおき、曲線 $y = g(t)$ と直線 $y = k$ の共有点を考えます。その際、各 $t$ の値に対して対応する $\theta$ がいくつ存在するか（対応関係）を正確に把握することが最大の鍵となります。

解法1

(1)

与えられた式を変形し、三角関数の合成を行います。

$$\begin{aligned} t &= \cos\theta - \sin\theta \\ &= \sqrt{2} \left( \cos\theta \frac{1}{\sqrt{2}} - \sin\theta \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \\ &= \sqrt{2}\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より、$\theta + \frac{\pi}{4}$ のとりうる値の範囲は以下のようになります。

$$\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5}{4}\pi$$

この範囲において、$\cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ のとりうる値の範囲は以下の通りです。

$$-1 \leqq \cos\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq \frac{1}{\sqrt{2}}$$

全体に $\sqrt{2}$ を掛けて、$t$ のとりうる値の範囲を得ます。

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$$

(2)

$t = \cos\theta - \sin\theta$ の両辺を2乗します。

$$\begin{aligned} t^2 &= (\cos\theta - \sin\theta)^2 \\ &= \cos^2\theta - 2\sin\theta\cos\theta + \sin^2\theta \\ &= 1 - 2\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$$

これより、$\sin\theta\cos\theta$ は次のように表せます。

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{1 - t^2}{2}$$

次に $f(\theta)$ を因数分解し、上の結果を利用します。

$$\begin{aligned} f(\theta) &= 2(\cos^3\theta - \sin^3\theta) \\ &= 2(\cos\theta - \sin\theta)(\cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta) \\ &= 2t(1 + \sin\theta\cos\theta) \\ &= 2t\left(1 + \frac{1 - t^2}{2}\right) \\ &= t(3 - t^2) \\ &= -t^3 + 3t \end{aligned}$$

(3)

$g(t) = -t^3 + 3t$ とおきます。(1) の結果より、定義域は $-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$ です。方程式 $f(\theta) = k$ を満たす $\theta$ の個数を調べるために、まず $1$ つの $t$ に対して $\theta$ がいくつ対応するかを調べます。

$\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと、$\frac{\pi}{4} \leqq \alpha \leqq \frac{5}{4}\pi$ であり、$t = \sqrt{2}\cos\alpha$ です。関数 $y = \cos\alpha$ は、$\frac{\pi}{4} \leqq \alpha \leqq \pi$ で単調減少し、$\pi \leqq \alpha \leqq \frac{5}{4}\pi$ で単調増加します。この増減から、$-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$ の各 $t$ に対応する $\alpha$ （すなわち $\theta$）の個数は以下のようになります。

$-1 < t \leqq 1$ のとき：$\theta$ は $1$ 個
$-\sqrt{2} < t \leqq -1$ のとき：$\theta$ は $2$ 個
$t = -\sqrt{2}$ のとき：$\theta$ は $1$ 個

次に、$g(t)$ の増減を調べます。

$$g'(t) = -3t^2 + 3 = -3(t + 1)(t - 1)$$

$g'(t) = 0$ となるのは $t = \pm 1$ のときですが、$-\sqrt{2} \leqq t \leqq 1$ の範囲では以下の増減表が得られます。

$$\begin{array}{c|ccccc} t & -\sqrt{2} & \cdots & -1 & \cdots & 1 \\ \hline g'(t) & & - & 0 & + & 0 \\ \hline g(t) & -\sqrt{2} & \searrow & -2 & \nearrow & 2 \end{array}$$

$y = g(t)$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の $t$ 座標から、$\theta$ の個数を求めます。

(i) $k > 2$ または $k < -2$ のとき

共有点を持たないため、$\theta$ は $0$ 個です。

(ii) $-\sqrt{2} < k \leqq 2$ のとき

共有点は $-1 < t \leqq 1$ の範囲に $1$ つだけ存在します。この範囲の $t$ に対して $\theta$ は $1$ 個対応するため、$\theta$ は $1$ 個です。

(iii) $k = -\sqrt{2}$ のとき

共有点は $t = -\sqrt{2}$ と、$-1 < t < 1$ の範囲に $1$ つの合計 $2$ 箇所です。 $t = -\sqrt{2}$ に対して $\theta$ は $1$ 個、$-1 < t < 1$ に対して $\theta$ は $1$ 個対応するため、$\theta$ は合計 $2$ 個です。

(iv) $-2 < k < -\sqrt{2}$ のとき

共有点は $-\sqrt{2} < t < -1$ の範囲に $1$ つと、$-1 < t < 1$ の範囲に $1$ つの合計 $2$ 箇所です。 $-\sqrt{2} < t < -1$ に対して $\theta$ は $2$ 個、$-1 < t < 1$ に対して $\theta$ は $1$ 個対応するため、$\theta$ は合計 $3$ 個です。

(v) $k = -2$ のとき

共有点は $t = -1$ の $1$ 箇所のみです。この $t$ に対して $\theta$ は $2$ 個対応するため、$\theta$ は $2$ 個です。

解法2

(3)の別解（直接微分による解法）

$f(\theta) = 2(\cos^3\theta - \sin^3\theta)$ を $\theta$ で直接微分し、グラフの概形から交点を調べます。

$$\begin{aligned} f'(\theta) &= 2 \{ 3\cos^2\theta (-\sin\theta) - 3\sin^2\theta\cos\theta \} \\ &= -6\sin\theta\cos\theta(\cos\theta + \sin\theta) \\ &= -3\sin2\theta \cdot \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned}$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ の範囲において $f'(\theta) = 0$ となる $\theta$ を求めます。

$\sin2\theta = 0$ より $2\theta = 0, \pi, 2\pi$ であるから、$\theta = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ です。 $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 0$ より $\theta + \frac{\pi}{4} = \pi$ であるから、$\theta = \frac{3}{4}\pi$ です。

これをもとに増減表を作成します。

$$\begin{array}{c|ccccccccc} \theta & 0 & \cdots & \frac{\pi}{2} & \cdots & \frac{3}{4}\pi & \cdots & \pi \\ \hline f'(\theta) & 0 & - & 0 & + & 0 & - & 0 \\ \hline f(\theta) & 2 & \searrow & -2 & \nearrow & -\sqrt{2} & \searrow & -2 \end{array}$$

グラフ $y = f(\theta)$ は、点 $(0, 2)$ から $(\frac{\pi}{2}, -2)$ まで減少し、そこから $(\frac{3}{4}\pi, -\sqrt{2})$ まで増加し、最後に $(\pi, -2)$ まで減少する概形となります。このグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数を数えることで、以下の結論を得ます。