数学2 最大最小・解の個数問題 27 解説

方針・初手

$2^x = t$ とおき、与えられた方程式を変数 $t$ の方程式に書き換える。その際、$2^x > 0$ より $t > 0$ という変域がつくことに注意する。 $x$ についての方程式の解の個数は、$t > 0$ を満たす $t$ の方程式の解の個数に一致するため、グラフを用いて共有点の個数を調べる。

解法1

$2^x = t$ とおくと、$x$ が実数のとき

$$t > 0$$

である。また、$t > 0$ を満たす任意の実数 $t$ に対して、実数 $x$ がただ1つ定まる。

まず、方程式 $4^x - 2^x = 12$ を解く。 $4^x = (2^x)^2 = t^2$ であるから、方程式は次のように書き換えられる。

$$t^2 - t - 12 = 0$$

左辺を因数分解して

$$(t - 4)(t + 3) = 0$$

$t > 0$ であるから、$t = 4$ を得る。よって、$2^x = 4 = 2^2$ より

$$x = 2$$

次に、方程式 $4^x - 2^x = k$ がただ1つの解をもつ条件を考える。先と同様に $2^x = t$ とおくと、方程式は次のようになる。

$$t^2 - t = k$$

この $x$ についての方程式がただ1つの解をもつための条件は、$t$ についての方程式 $t^2 - t = k$ が $t > 0$ の範囲にただ1つの実数解をもつことである。関数 $f(t) = t^2 - t$ とおくと

$$f(t) = \left( t - \frac{1}{2} \right)^2 - \frac{1}{4}$$

となる。$t > 0$ における $y = f(t)$ のグラフと、直線 $y = k$ がただ1つの共有点をもつための条件を求める。

$y = f(t)$ のグラフは、頂点が $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)$、下凸の放物線の一部であり、$t > 0$ における値域は $y \geqq -\frac{1}{4}$ である。また、$t=0$ のとき $y=0$ （白丸となり含まれない）である。したがって、グラフから、ただ1つの共有点をもつ $k$ の条件は

$$k \geqq 0 \quad \text{または} \quad k = -\frac{1}{4}$$

であることがわかる。

また、$k = -\frac{1}{4}$ のとき、共有点の $t$ 座標は $t = \frac{1}{2}$ である。このとき

$$2^x = \frac{1}{2} = 2^{-1}$$

より、$x = -1$ である。

解説

指数関数を含む方程式を解く際の典型的な問題である。 $a^x = t$ と置換して2次方程式や2次関数の問題に帰着させるのが定石であるが、その際に必ず $t > 0$ という隠れた条件を見落とさないことが重要である。解の個数を問う問題では、方程式を $f(t) = k$ （定数分離）の形にし、関数 $y = f(t)$ の変域に注意しながらグラフと直線 $y = k$ の共有点を視覚的に捉える方法が確実でわかりやすい。