数学2 最大最小・解の個数問題 29 解説

方針・初手

直方体の高さを文字でおき、与えられた表面積の条件から高さ $y$ を底面の1辺の長さ $x$ で表す。その後、体積 $V$ を $x$ の関数として立式し、微分を用いて増減を調べる。図形の問題であるため、変域（辺の長さが正であること）に注意して $x$ のとりうる値の範囲をあらかじめ求めておくことが重要である。

解法1

直方体の高さを $y$ とおく。図形が構成される条件から、$x > 0$ かつ $y > 0$ である。

底面以外の5つの面とは、上面1つと側面4つのことである。上面の面積は $x^2$、側面1つあたりの面積は $xy$ であるから、これら5つの面の面積の和は

$$x^2 + 4xy = 48$$

と表せる。これを $y$ について解くと

$$4xy = 48 - x^2$$

$$y = \frac{48 - x^2}{4x}$$

ここで、$y > 0$ と $x > 0$ より $48 - x^2 > 0$ となるため、$x$ のとりうる値の範囲は

$$0 < x < 4\sqrt{3}$$

である。

この直方体の体積 $V$ は、底面積 $\times$ 高さより $V = x^2 y$ となるので、$y$ を代入して

$$V = x^2 \cdot \frac{48 - x^2}{4x}$$

$$V = 12x - \frac{1}{4}x^3$$

これが求める $V$ を $x$ を用いて表した式である。

次に、$V$ を $x$ で微分すると

$$\frac{dV}{dx} = 12 - \frac{3}{4}x^2$$

$$\frac{dV}{dx} = -\frac{3}{4}(x^2 - 16)$$

$$\frac{dV}{dx} = -\frac{3}{4}(x - 4)(x + 4)$$

$0 < x < 4\sqrt{3}$ の範囲において $\frac{dV}{dx} = 0$ となる $x$ の値は、$x = 4$ である。この範囲での $V$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$(0)$	$\cdots$	$4$	$\cdots$	$(4\sqrt{3})$
$\frac{dV}{dx}$		$+$	$0$	$-$
$V$	$(0)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$(0)$

増減表より、$V$ は $x = 4$ のとき極大かつ最大となる。最大値は

$$V = 12 \cdot 4 - \frac{1}{4} \cdot 4^3 = 48 - 16 = 32$$

である。

解説

立体図形の最大・最小問題の典型である。問題文に「底面以外の5つの面の面積の和」とあるため、表面積全体（$2x^2 + 4xy$）と勘違いしないように注意したい。また、変数の設定に伴う定義域（$x>0, y>0$ に起因する $x$ の範囲）の確認は、関数の最大値を論じるうえで不可欠な手順である。本問は穴埋め形式であるが、記述式であれば定義域の明記がないと減点対象になりうる。