数学2 最大最小・解の個数 問題 30 解説

方針・初手

3次方程式が異なる3つの実数解をもつための条件は、対応する3次関数が極大値と極小値をもち、かつ「(極大値) $\times$ (極小値) $< 0$」となることである。まずは左辺の関数を $x$ で微分し、極値をとる $x$ の値を $b$ を用いて表すことから始める。

解法1

$$f(x) = \frac{1}{3}x^3 - b^2x + b$$

とおく。関数 $f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = x^2 - b^2 = (x-b)(x+b)$$

となる。方程式 $f(x) = 0$ が異なる3つの実数解をもつための条件は、関数 $f(x)$ が極大値と極小値をもち、かつそれらの積が負となることである。

$f(x)$ が極値をもつための条件は、$f'(x)=0$ が異なる2つの実数解をもつことなので、$b \neq 0$ である。このとき、$f(x)$ は $x = b, -b$ で極値をとる。そのときの極値はそれぞれ、

$$f(b) = \frac{1}{3}b^3 - b^3 + b = -\frac{2}{3}b^3 + b$$

$$f(-b) = -\frac{1}{3}b^3 + b^3 + b = \frac{2}{3}b^3 + b$$

となる。極値の積が負となる条件は $f(b)f(-b) < 0$ であるから、

$$\left(-\frac{2}{3}b^3 + b\right)\left(\frac{2}{3}b^3 + b\right) < 0$$

左辺を因数分解して整理すると、

$$b^2 \left(1 - \frac{2}{3}b^2\right)\left(1 + \frac{2}{3}b^2\right) < 0$$

ここで $b \neq 0$ であり、$b$ は実数であるから $b^2 > 0$ かつ $1 + \frac{2}{3}b^2 > 0$ は常に成り立つ。したがって、上の不等式が満たされるための条件は、

$$1 - \frac{2}{3}b^2 < 0$$

$$\frac{2}{3}b^2 > 1$$

$$b^2 > \frac{3}{2}$$

となる。これを解いて、

$$b < -\frac{\sqrt{6}}{2}, \quad \frac{\sqrt{6}}{2} < b$$

解説

3次方程式の実数解の個数を問う問題である。変数が定数として分離できる場合は「グラフと直線の交点」として視覚的に処理するのが定石だが、本問のように定数分離が難しい場合は「(極大値) $\times$ (極小値) $< 0$」の条件を利用するのが有効である。

不等式を解く過程で現れる $b^2$ や $1 + \frac{2}{3}b^2$ のような常に正となる因子は、両辺をそれで割って除外することで、符号の判定や計算をシンプルにできる。このとき $b=0$ が除外されていることの確認（極値をもつ条件）を忘れないようにしたい。

答え

$$b < -\frac{\sqrt{6}}{2}, \quad \frac{\sqrt{6}}{2} < b$$