数学2 最大最小・解の個数 問題 34 解説

方針・初手

(1) 座標平面上の角度については、ベクトル $\overrightarrow{\text{OA}}$ と $\overrightarrow{\text{OP}}$ の内積を利用して $\cos\theta$ を求めるのが基本方針である。

(2) $\triangle\text{POA}$ の面積 $S$ は、(1)で求めた $\cos\theta$ から $\sin\theta$ を導出し、公式 $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{\text{OA}}| |\overrightarrow{\text{OP}}| \sin\theta$ を用いる方法と、座標平面上の三角形の面積公式 $S = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ を用いる方法がある。

(3) (2)で求めた面積 $S$ を $t$ の関数とみなし、導関数を求めて増減表を作成する。

解法1

(1)

$\text{O}(0,0)$、$\text{A}(1,1)$、$\text{P}(t, t^3)$ であるから、$\overrightarrow{\text{OA}} = (1, 1)$、$\overrightarrow{\text{OP}} = (t, t^3)$ となる。

それぞれのベクトルの大きさを求める。

$$ |\overrightarrow{\text{OA}}| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} $$

$$ |\overrightarrow{\text{OP}}| = \sqrt{t^2 + (t^3)^2} = \sqrt{t^2(1 + t^4)} $$

$0 < t < 1$ より $t > 0$ であるから、

$$ |\overrightarrow{\text{OP}}| = t\sqrt{1 + t^4} $$

次に、内積 $\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OP}}$ を計算する。

$$ \overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OP}} = 1 \cdot t + 1 \cdot t^3 = t(1 + t^2) $$

以上より、$\cos\theta$ は次のように求まる。

$$ \cos\theta = \frac{\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OP}}}{|\overrightarrow{\text{OA}}| |\overrightarrow{\text{OP}}|} = \frac{t(1 + t^2)}{\sqrt{2} \cdot t\sqrt{1 + t^4}} = \frac{1 + t^2}{\sqrt{2(1 + t^4)}} $$

(2)

座標を用いた三角形の面積公式を利用する。

$$ S = \frac{1}{2} |1 \cdot t^3 - 1 \cdot t| = \frac{1}{2} |t^3 - t| $$

$0 < t < 1$ においては $t^3 < t$ であるから、$t^3 - t < 0$ となる。したがって絶対値記号を外す際に符号が反転する。

$$ S = -\frac{1}{2} (t^3 - t) = \frac{1}{2} (t - t^3) $$

(3)

(2)より、$S = \frac{1}{2} (t - t^3)$ である。これを $t$ で微分する。

$$ S' = \frac{1}{2} (1 - 3t^2) $$

$S' = 0$ とすると、

$$ 3t^2 = 1 $$

$$ t^2 = \frac{1}{3} $$

$0 < t < 1$ であるから、

$$ t = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

$0 < t < 1$ における $S$ の増減表は次のようになる。

増減表より、$S$ を最大にする $t$ の値は $t = \frac{\sqrt{3}}{3}$ である。

解法2

(2)の別解（$\sin\theta$ を用いる方法）

(1)の結果から $\sin\theta$ を求める。

$$ \sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \left( \frac{1 + t^2}{\sqrt{2(1 + t^4)}} \right)^2 $$

$$ \sin^2\theta = 1 - \frac{1 + 2t^2 + t^4}{2(1 + t^4)} = \frac{2(1 + t^4) - (1 + 2t^2 + t^4)}{2(1 + t^4)} $$

$$ \sin^2\theta = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{2(1 + t^4)} = \frac{(1 - t^2)^2}{2(1 + t^4)} $$

$0 < \theta < \pi$ より $\sin\theta > 0$ であり、$0 < t < 1$ より $1 - t^2 > 0$ であるから、平方根をとって

$$ \sin\theta = \frac{1 - t^2}{\sqrt{2(1 + t^4)}} $$

よって、三角形の面積 $S$ は

$$ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{\text{OA}}| |\overrightarrow{\text{OP}}| \sin\theta $$

$$ S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot t\sqrt{1 + t^4} \cdot \frac{1 - t^2}{\sqrt{2(1 + t^4)}} $$

$$ S = \frac{1}{2} t(1 - t^2) = \frac{1}{2} (t - t^3) $$

解説

(1)はベクトルの内積の定義を用いる典型的な問題である。(2)において面積を求める際、(1)で求めた $\cos\theta$ を利用して $\sin\theta$ を経由する解法でも求めることができるが、原点と他の2点の座標がわかっている場合は座標を用いた面積公式 $S = \frac{1}{2} |x_1 y_2 - x_2 y_1|$ を使う方が計算量を抑えられる。ただし、その際は $0 < t < 1$ という条件から絶対値の中身の符号を判定し、正しく絶対値を外す必要がある。(3)は導関数を用いて増減を調べる基本的な微分法の問題である。

答え

(1)

$$ \cos\theta = \frac{1 + t^2}{\sqrt{2(1 + t^4)}} $$

(2)

$$ S = \frac{1}{2} (t - t^3) $$

(3)

$$ t = \frac{\sqrt{3}}{3} $$