数学2 最大最小・解の個数問題 37 解説

方針・初手

(1) 3点 O, A, B が同一直線上にあると仮定し、$\overrightarrow{\text{OB}} = k\overrightarrow{\text{OA}}$ となる実数 $k$ が存在することから矛盾を導く（背理法）。または成分を比較して連立方程式が解を持たないことを示す。 (2) ベクトルを用いた三角形の面積公式 $S = \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\text{OA}}|^2|\overrightarrow{\text{OB}}|^2 - (\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}})^2}$ に各成分を代入し、三角関数の相互関係を用いて $\sin\theta$ のみの式に整理する。 (3) (2)で求めた式において $\sin^2\theta = x$ などとおき、根号内の関数の増減を微分法を用いて調べる。

解法1

(1) 与えられた点の座標より、各位置ベクトルは以下のようになる。

$$\overrightarrow{\text{OA}} = (\cos\theta, \sin\theta, 0)$$

$$\overrightarrow{\text{OB}} = (0, \sin2\theta, \cos2\theta)$$

3点 O, A, B が同一直線上にあると仮定すると、ある実数 $k$ を用いて $\overrightarrow{\text{OB}} = k\overrightarrow{\text{OA}}$ と表すことができる。成分で表すと以下のようになる。

$$(0, \sin2\theta, \cos2\theta) = k(\cos\theta, \sin\theta, 0)$$

各成分を比較して、次の連立方程式を得る。

$$\begin{cases} 0 = k\cos\theta \cdots \text{①} \\ \sin2\theta = k\sin\theta \cdots \text{②} \\ \cos2\theta = 0 \cdots \text{③} \end{cases}$$

③より、$\cos2\theta = 0$ である。このとき、$\sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta = 1$ より $\sin2\theta = \pm 1$ となる。一方、①より $k = 0$ または $\cos\theta = 0$ であるから、それぞれの場合について調べる。

(i) $k = 0$ のとき ②より $\sin2\theta = 0$ となる。これは $\sin2\theta = \pm 1$ であることに矛盾する。

(ii) $\cos\theta = 0$ のとき $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より $\sin\theta = \pm 1$ である。このとき、2倍角の公式より $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 0$ となる。これも $\sin2\theta = \pm 1$ であることに矛盾する。

以上より、①、②、③を同時に満たす実数 $k$ と $\theta$ は存在しない。したがって、3点 O, A, B は同一直線上にはない。（証明終）

(2) $\overrightarrow{\text{OA}}$ と $\overrightarrow{\text{OB}}$ の大きさの2乗、および内積をそれぞれ計算する。

$$|\overrightarrow{\text{OA}}|^2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta + 0 = 1$$

$$|\overrightarrow{\text{OB}}|^2 = 0 + \sin^2 2\theta + \cos^2 2\theta = 1$$

$$\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = 0 \cdot \cos\theta + \sin\theta\sin2\theta + 0 \cdot \cos2\theta = \sin\theta\sin2\theta$$

ここで、2倍角の公式 $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ を用いると

$$\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}} = \sin\theta(2\sin\theta\cos\theta) = 2\sin^2\theta\cos\theta$$

三角形 OAB の面積 $S$ は、次の公式により求められる。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\sqrt{|\overrightarrow{\text{OA}}|^2|\overrightarrow{\text{OB}}|^2 - (\overrightarrow{\text{OA}} \cdot \overrightarrow{\text{OB}})^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{1 \cdot 1 - (2\sin^2\theta\cos\theta)^2} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{1 - 4\sin^4\theta\cos^2\theta} \end{aligned}$$

さらに、$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を代入して $\sin\theta$ のみの式に変形する。

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2}\sqrt{1 - 4\sin^4\theta(1 - \sin^2\theta)} \\ &= \frac{1}{2}\sqrt{4\sin^6\theta - 4\sin^4\theta + 1} \end{aligned}$$

(3) (2)で求めた式において、$\sin^2\theta = x$ とおく。$\theta$ が実数全体を動くとき、$-1 \leqq \sin\theta \leqq 1$ であるから、変域は $0 \leqq x \leqq 1$ となる。 $S$ の根号の中の式を $f(x)$ とおく。

$$f(x) = 4x^3 - 4x^2 + 1$$

$f(x)$ を $x$ について微分する。

$$f'(x) = 12x^2 - 8x = 4x(3x - 2)$$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, \frac{2}{3}$ のときである。 $0 \leqq x \leqq 1$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$x$	$0$	$\cdots$	$\frac{2}{3}$	$\cdots$	$1$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$1$	$\searrow$	$\frac{11}{27}$	$\nearrow$	$1$

各点における関数値は以下の通りである。

$$f(0) = 1$$

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = 4\left(\frac{8}{27}\right) - 4\left(\frac{4}{9}\right) + 1 = \frac{32}{27} - \frac{48}{27} + \frac{27}{27} = \frac{11}{27}$$

$$f(1) = 4 - 4 + 1 = 1$$

増減表より、$f(x)$ は $x = 0, 1$ のとき最大値 $1$ をとり、$x = \frac{2}{3}$ のとき最小値 $\frac{11}{27}$ をとる。 $S = \frac{1}{2}\sqrt{f(x)}$ であり、$S \geqq 0$ であるから、$S$ は $f(x)$ が最大のとき最大となり、$f(x)$ が最小のとき最小となる。

したがって、$S$ の最大値は

$$\frac{1}{2}\sqrt{1} = \frac{1}{2}$$

であり、$S$ の最小値は

$$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{11}{27}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{18}$$

である。

解説

空間ベクトルと三角関数、微分の融合問題である。(1)の証明は、同一直線上にある条件をベクトルで立式し、成分比較によって矛盾を導くのが定石である。$k$ を実数として $\overrightarrow{\text{OB}} = k\overrightarrow{\text{OA}}$ とおいた際、連立方程式の処理でゼロ割りに注意しながら丁寧に場合分けを行う必要がある。(2)の面積計算は成分が与えられているため、公式に当てはめるだけで容易に導ける。(3)では、式の形から $\sin^2\theta$ を一つの変数と見なして置換することで、3次関数の最大・最小問題に帰着させる。置換した際の定義域の確認（$0 \leqq \sin^2\theta \leqq 1$）を忘れないようにすることが重要である。