数学2 最大最小・解の個数問題 38 解説

方針・初手

$t = \sin\theta + \cos\theta$ を2乗することで、$\sin\theta\cos\theta$ を $t$ の式で表す。また、三角関数の合成を用いて $t$ の取りうる値の範囲を求める。与えられた方程式を $t$ の方程式に書き換えた後、$t$ の値に対して $\theta$ がいくつ存在するかを対応づけ、各 $k$ の値について $\theta$ の解の個数を調べる。

解法1

(1)

$t = \sin\theta + \cos\theta$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ であるから、

$$t^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$$

これを $\sin\theta\cos\theta$ について解くと、

$$\sin\theta\cos\theta = \frac{t^2 - 1}{2}$$

(2)

$t = \sin\theta + \cos\theta$ に三角関数の合成を用いると、

$$t = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$$

$0 \leqq \theta \leqq \pi$ より、$\theta + \frac{\pi}{4}$ のとりうる範囲は

$$\frac{\pi}{4} \leqq \theta + \frac{\pi}{4} \leqq \frac{5}{4}\pi$$

この範囲において、$\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right)$ の取りうる値の範囲は、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5}{4}\pi$ のとき最小、$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき最大となるため、

$$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$$

辺々を $\sqrt{2}$ 倍して、

$$-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

(3)

与えられた方程式 $2\sin\theta\cos\theta - 2(\sin\theta + \cos\theta) - k = 0$ に(1)の結果を代入すると、

$$2 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} - 2t - k = 0$$

整理すると、

$$t^2 - 2t - 1 = k$$

となる。ここで、$t$ の値と $\theta$ の個数の対応を調べる。 $\Theta = \theta + \frac{\pi}{4}$ とおくと、(2)の通り $\frac{\pi}{4} \leqq \Theta \leqq \frac{5}{4}\pi$ であり、$\sin\Theta = \frac{t}{\sqrt{2}}$ を満たす $\Theta$ の個数を考えればよい。単位円上の $y$ 座標が $\frac{t}{\sqrt{2}}$ となる動径の個数を調べると、以下のようになる。

$\frac{t}{\sqrt{2}} = 1$ すなわち $t = \sqrt{2}$ のとき、$\Theta = \frac{\pi}{2}$ の1個であり、$\theta$ は1個である。
$\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \frac{t}{\sqrt{2}} < 1$ すなわち $1 \leqq t < \sqrt{2}$ のとき、$\Theta$ は2個存在し、$\theta$ は2個である。
$-\frac{1}{\sqrt{2}} \leqq \frac{t}{\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{2}}$ すなわち $-1 \leqq t < 1$ のとき、$\Theta$ は1個存在し、$\theta$ は1個である。
上記以外のとき、$\theta$ は0個である。

これを踏まえて、与えられた $k$ の値について調べる。

(i) $k = 1$ のとき

方程式は $t^2 - 2t - 1 = 1$ となり、整理すると

$$t^2 - 2t - 2 = 0$$

これを解くと、$t = 1 \pm \sqrt{3}$ となる。 $1 < \sqrt{3} < 2$ であるため、$1 + \sqrt{3} > 2$ であり、これは $-1 \leqq t \leqq \sqrt{2}$ の範囲外である。一方、$1 - \sqrt{3}$ は $-1 < 1 - \sqrt{3} < 0$ を満たすため、$-1 \leqq t < 1$ の範囲に含まれる。したがって、この $t$ に対する $\theta$ は1個である。よって、解の個数は1個である。

(ii) $k = 1 - 2\sqrt{2}$ のとき

方程式は $t^2 - 2t - 1 = 1 - 2\sqrt{2}$ となり、整理すると

$$t^2 - 2t - 2 + 2\sqrt{2} = 0$$

この方程式は $t = \sqrt{2}$ を解にもつ。因数分解すると、

$$(t - \sqrt{2})(t - (2 - \sqrt{2})) = 0$$

よって、$t = \sqrt{2}, 2 - \sqrt{2}$ である。 $t = \sqrt{2}$ に対応する $\theta$ は1個である。また、$1.4 < \sqrt{2} < 1.5$ より $0.5 < 2 - \sqrt{2} < 0.6$ であるから、これは $-1 \leqq t < 1$ の範囲に含まれ、対応する $\theta$ は1個である。これらは異なる $t$ の値であるため、解の個数は $1 + 1 = 2$個である。

(iii) $k = -1.9$ のとき

方程式は $t^2 - 2t - 1 = -1.9$ となり、整理すると

$$t^2 - 2t + 0.9 = 0$$

変形して、

$$(t - 1)^2 = 0.1$$

これを解くと、$t = 1 \pm \sqrt{0.1} = 1 \pm \frac{1}{\sqrt{10}}$ となる。 $3 < \sqrt{10} < 4$ より $0 < \frac{1}{\sqrt{10}} < \frac{1}{3}$ であるから、$t = 1 - \frac{1}{\sqrt{10}}$ は $0 < t < 1$ となり、$-1 \leqq t < 1$ の範囲に含まれる。これに対応する $\theta$ は1個である。一方、$t = 1 + \frac{1}{\sqrt{10}}$ については、$1 < t < 1 + \frac{1}{3}$ となり、$t < 1.4 < \sqrt{2}$ が成り立つ。よって、$1 \leqq t < \sqrt{2}$ の範囲に含まれ、これに対応する $\theta$ は2個である。これらは異なる $t$ の値であるため、解の個数は $1 + 2 = 3$個である。

解説

三角関数の対称式を置換して解く、典型的な問題である。 (1)では、和 $t = \sin\theta + \cos\theta$ を2乗して積 $\sin\theta\cos\theta$ を作ることが定石である。 (3)において最も注意すべきなのは、「$t$ の値1つに対して、対応する $\theta$ がいくつ存在するか」という点である。置換積分や変数変換を用いた方程式・不等式の問題では、変域や解の個数の対応関係を丁寧に確認する癖をつけたい。本問では単位円やサインカーブを用いて、視覚的に $\theta$ の個数を把握すると間違いが少ない。