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数学2 最大最小・解の個数問題 39 解説

方針・初手

$\angle A = \theta$ とおき、正弦定理を用いて三角形の辺の長さを $\theta$ で表す。その後、面積を $\theta$ の関数として立式し、微分を用いて最大値をとるときの条件を調べる。

解法1

$\angle A = \theta$ とおくと、条件 $\angle B = 2\angle A$ より $\angle B = 2\theta$ である。

三角形の内角の和は $\pi$ であるから、

$$\angle C = \pi - (\angle A + \angle B) = \pi - 3\theta$$

となる。三角形の内角はすべて正であるから $\theta > 0, 2\theta > 0, \pi - 3\theta > 0$ を満たし、これより $\theta$ のとり得る値の範囲は

$$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$$

である。

$\triangle \text{ABC}$ において正弦定理を用いると、

$$\frac{\text{AB}}{\sin C} = \frac{\text{BC}}{\sin A}$$

が成り立つ。条件より $\text{BC} = 1$ であるから、

$$\text{AB} = \frac{\sin(\pi - 3\theta)}{\sin\theta} = \frac{\sin 3\theta}{\sin\theta}$$

となる。ここで、3倍角の公式 $\sin 3\theta = 3\sin\theta - 4\sin^3\theta$ と半角の公式 $\sin^2\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ を用いて変形すると、

$$\begin{aligned} \text{AB} &= \frac{3\sin\theta - 4\sin^3\theta}{\sin\theta} \\ &= 3 - 4\sin^2\theta \\ &= 3 - 4 \cdot \frac{1 - \cos 2\theta}{2} \\ &= 1 + 2\cos 2\theta \end{aligned}$$

を得る。

$\triangle \text{ABC}$ の面積を $S$ とすると、

$$\begin{aligned} S &= \frac{1}{2} \text{BC} \cdot \text{AB} \sin B \\ &= \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (1 + 2\cos 2\theta) \sin 2\theta \\ &= \frac{1}{2} (\sin 2\theta + 2\sin 2\theta \cos 2\theta) \\ &= \frac{1}{2} (\sin 2\theta + \sin 4\theta) \end{aligned}$$

となる。ここで、面積 $S$ を $\theta$ で微分すると、

$$\begin{aligned} \frac{dS}{d\theta} &= \frac{1}{2} (2\cos 2\theta + 4\cos 4\theta) \\ &= \cos 2\theta + 2(2\cos^2 2\theta - 1) \\ &= 4\cos^2 2\theta + \cos 2\theta - 2 \end{aligned}$$

となる。$\frac{dS}{d\theta} = 0$ となる $\cos 2\theta$ の値を求めると、二次方程式の解の公式より

$$\cos 2\theta = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2)}}{2 \cdot 4} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8}$$

である。$0 < \theta < \frac{\pi}{3}$ より $0 < 2\theta < \frac{2\pi}{3}$ であるから、$\cos 2\theta$ のとり得る値の範囲は

$$-\frac{1}{2} < \cos 2\theta < 1$$

である。ここで、$\frac{-1 - \sqrt{33}}{8} < \frac{-1 - 5}{8} = -\frac{3}{4} < -\frac{1}{2}$ であるから、この範囲に適するものは

$$\cos 2\theta = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8}$$

のみである。

この値を満たす $2\theta$ を $\alpha$ とおくと、$0 < 2\theta < \alpha$ において $\cos 2\theta > \cos\alpha$ より $\frac{dS}{d\theta} > 0$、$ \alpha < 2\theta < \frac{2\pi}{3}$ において $\cos 2\theta < \cos\alpha$ より $\frac{dS}{d\theta} < 0$ となる。

したがって、面積 $S$ は $2\theta = \alpha$ のとき極大かつ最大となる。求める値は $\cos\angle B$ であり、$\angle B = 2\theta$ であるから、これがそのまま答えとなる。