数学2 最大最小・解の個数問題 41 解説

方針・初手

(1) については、$x$ についての2次関数であるから、平方完成を行い頂点の $y$ 座標を求める。

(2) については、(1)で求めた $t$ の3次関数 $g(t)$ について、微分を用いて与えられた定義域での増減を調べ、最小値を求める。その際、極小値と区間の左端における値の大小比較が必要になる。

解法1

(1)

$f(x)$ を $x$ について整理し、平方完成を行う。

$$\begin{aligned} f(x) &= -2x^2 + 2(4t - 6)x + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= -2 \{ x^2 - (4t-6)x \} + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= -2 \{ x - (2t-3) \}^2 + 2(2t-3)^2 + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= -2 \{ x - (2t-3) \}^2 + 2(4t^2 - 12t + 9) + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= -2 \{ x - (2t-3) \}^2 + 8t^2 - 24t + 18 + t^3 - 17t^2 + 39t - 18 \\ &= -2 \{ x - (2t-3) \}^2 + t^3 - 9t^2 + 15t \end{aligned}$$

したがって、$f(x)$ は $x = 2t-3$ のとき最大となり、その最大値は $t^3 - 9t^2 + 15t$ である。

(2)

(1)の結果より、$g(t) = t^3 - 9t^2 + 15t$ である。これを $t$ で微分する。

$$\begin{aligned} g'(t) &= 3t^2 - 18t + 15 \\ &= 3(t^2 - 6t + 5) \\ &= 3(t-1)(t-5) \end{aligned}$$

$g'(t) = 0$ となるのは、$t = 1, 5$ のときである。

$t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ における $g(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$5$	$\cdots$
$g'(t)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$g(t)$	$g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$	$\nearrow$	$7$	$\searrow$	$-25$	$\nearrow$

極小値は $g(5) = 125 - 225 + 75 = -25$ である。

ここで、区間の左端における値 $g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ と、極小値 $g(5)$ の大小を比較する。

$$\begin{aligned} g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) &= \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 - 9\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 15\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \\ &= -\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{9}{2} - \frac{15}{\sqrt{2}} \\ &= -\frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{9}{2} - \frac{15\sqrt{2}}{2} \\ &= -\frac{9}{2} - \frac{31\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

$g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - g(5)$ を計算する。

$$\begin{aligned} g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (-25) &= -\frac{9}{2} - \frac{31\sqrt{2}}{4} + 25 \\ &= \frac{41}{2} - \frac{31\sqrt{2}}{4} \\ &= \frac{82 - 31\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

ここで、$82^2 = 6724$、$(31\sqrt{2})^2 = 31^2 \times 2 = 961 \times 2 = 1922$ であるから、$82^2 > (31\sqrt{2})^2$ より $82 > 31\sqrt{2}$ が成り立つ。

よって、$\frac{82 - 31\sqrt{2}}{4} > 0$ であり、$g\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) > g(5)$ となる。

したがって、$t \geqq -\frac{1}{\sqrt{2}}$ における $g(t)$ の最小値は $g(5) = -25$ である。