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数学2 最大最小・解の個数問題 46 解説

方針・初手

(1) 与えられた関数に $a=1$ を代入し、導関数から増減表を作成して極値とグラフの概形を求める。

(2) $f'(x)=0$ の解から極値をとる $x$ の位置を把握し、$a$ の符号によって場合分けを行う。$x$ 軸との共有点が指定された範囲にただ一つとなるように、極小値の符号や区間の端点 $x=1$ での符号を調べる。

解法1

(1)

$a=1$ のとき、関数 $f(x)$ は次のようになる。

$$f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 24x + 1$$

これを $x$ で微分する。

$$f'(x) = 6x^2 - 30x + 24 = 6(x^2 - 5x + 4) = 6(x-1)(x-4)$$

$f'(x) = 0$ とすると $x = 1, 4$ である。これをもとに増減表を作成すると、次のようになる。

$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$12$	$\searrow$	$-15$	$\nearrow$

極値は以下の通りである。

極大値: $12$ ($x=1$ のとき) 極小値: $-15$ ($x=4$ のとき)

グラフは、点 $(0, 1)$ を通り、$x=1$ で極大値 $12$、$x=4$ で極小値 $-15$ をとる右上がりの3次関数となる（描画は省略する）。

(2)

$f(x) = 2x^3 - 15ax^2 + 24a^2x + a^2$ を $x$ で微分する。

$$f'(x) = 6x^2 - 30ax + 24a^2 = 6(x^2 - 5ax + 4a^2) = 6(x-a)(x-4a)$$

$f'(x) = 0$ を満たす $x$ は $x = a, 4a$ である。また、$x=0$ と $x=1$ のときの関数値は次のようになる。

$$f(0) = a^2$$

$$f(1) = 2 - 15a + 24a^2 + a^2 = 25a^2 - 15a + 2 = (5a-1)(5a-2)$$

定数 $a$ の符号により場合分けを行って、グラフと $x$ 軸との共有点を考える。

(i) $a < 0$ のとき

$4a < a < 0$ であるから、$f(x)$ は $x=4a$ で極大、$x=a$ で極小となる。 $x \ge 0$ の範囲においては $x > a$ であるため、$f'(x) > 0$ となり $f(x)$ は単調増加する。 $f(0) = a^2 > 0$ であるから、$x > 0$ の範囲では常に $f(x) > 0$ となり、$x$ 軸との共有点を持たない。よって不適である。

(ii) $a = 0$ のとき

$f(x) = 2x^3$ となり、$f(x) = 0$ の解は $x = 0$ のみである。 $0 < x < 1$ の範囲に共有点を持たないため不適である。

(iii) $a > 0$ のとき

$0 < a < 4a$ であるから、$f(x)$ は $x=a$ で極大、$x=4a$ で極小となる。それぞれの極値は次のようになる。

$$f(a) = 2a^3 - 15a^3 + 24a^3 + a^2 = 11a^3 + a^2 > 0$$

$$f(4a) = 2(64a^3) - 15(16a^3) + 24a^2(4a) + a^2 = -16a^3 + a^2 = a^2(1 - 16a)$$

また、$f(0) = a^2 > 0$ である。極大値が正で $y$ 切片も正であるから、$y=f(x)$ のグラフが $0 < x < 1$ の範囲で $x$ 軸とただ1つの共有点を持つのは、次の (ア) または (イ) の場合である。

(ア) $0 < x < 1$ の範囲で $x$ 軸と接する場合

極小値が $0$ になり、かつその接点が $0 < x < 1$ の範囲に含まれるときである。

$$f(4a) = a^2(1 - 16a) = 0$$

$a > 0$ より $a = \frac{1}{16}$ となる。このとき、接点の $x$ 座標は $4a = \frac{1}{4}$ となり、$0 < x < 1$ を満たす。よって、$a = \frac{1}{16}$ は条件を満たす。

(イ) $0 < x < 1$ の範囲で $x$ 軸と交わり、かつ接しない場合

$x > 0$ の範囲でグラフは $x$ 軸と異なる2点で交わる。その2つの交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta \ (\alpha < \beta)$ とすると、$f(4a) < 0$ が必要であり、位置関係は $0 < \alpha < 4a < \beta$ となる。 $0 < x < 1$ の範囲にただ1つの共有点を持つための条件は、小さい方の交点のみが区間に含まれること、すなわち $0 < \alpha < 1 \le \beta$ となることである。この条件は、以下のいずれかが成り立つことと同値である。

・$f(1) < 0$ ・$f(1) = 0$ かつ $4a < 1$

$f(1) < 0$ のとき、$(5a-1)(5a-2) < 0$ より $\frac{1}{5} < a < \frac{2}{5}$ である。このとき $1 - 16a < 0$ となるため $f(4a) < 0$ も満たしており、条件に合致する。

$f(1) = 0$ のとき、$a = \frac{1}{5}, \frac{2}{5}$ である。 $a = \frac{1}{5}$ のとき、$4a = \frac{4}{5} < 1$ となり条件を満たす。このとき $\beta = 1$ となり、区間内の交点は $\alpha$ のみとなる。 $a = \frac{2}{5}$ のとき、$4a = \frac{8}{5} > 1$ となるため条件を満たさない（$\alpha = 1$ となり、区間内に交点を持たない）。

したがって、(イ) を満たす $a$ の範囲は $\frac{1}{5} \le a < \frac{2}{5}$ である。

以上、(i)〜(iii)より、求める定数 $a$ の条件は $a = \frac{1}{16}, \ \frac{1}{5} \le a < \frac{2}{5}$ である。

解説

文字定数を含む3次関数のグラフと $x$ 軸との共有点に関する典型的な問題である。

(1) で具体的な関数の極値とグラフの概形を把握し、(2) でそれを一般化するという誘導になっている。 (2) では $a$ の符号によって極値の位置関係が変わるため、まずは符号による場合分けを行うことが重要である。また、ただ1つの共有点を持つ条件としては、「接する場合」と「交わるが、もう1つの交点は区間外になる場合」の2パターンを漏れなく考える必要がある。特に後者において、端点である $f(1) = 0$ となるケースの吟味がポイントとなる。