数学2 最大最小・解の個数問題 49 解説

方針・初手

(1) は因数定理を用いて因数分解を行う。この結果は (2) の計算で利用することになる。
(2) は $f(x)$ を微分して増減を調べ、極小値を計算して $0$ になることを示す。
(3) は区間 $-1 \leqq x \leqq 2$ における関数の増減を考える。極小値をとる $x$ と区間の位置関係、および区間の両端における関数値の大小比較から場合分けを行う。

解法1

(1) 与式を $g(t) = 2t^3 - 3t^2 + 1$ とおく。 $g(1) = 2 - 3 + 1 = 0$ より、$g(t)$ は $t-1$ を因数にもつ。組立除法などを用いて因数分解すると、

$$\begin{aligned} 2t^3 - 3t^2 + 1 &= (t - 1)(2t^2 - t - 1) \\ &= (t - 1)(t - 1)(2t + 1) \\ &= (t - 1)^2(2t + 1) \end{aligned}$$

(2) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 3(t^2 - 1)x + 2t^3 - 3t^2 + 1$ を $x$ について微分する。

$$\begin{aligned} f'(x) &= 3x^2 + 6x - 3(t^2 - 1) \\ &= 3\{x^2 + 2x - (t - 1)(t + 1)\} \\ &= 3(x + t + 1)(x - t + 1) \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = -t-1, t-1$ である。 $t > 0$ より $(-t-1) - (t-1) = -2t < 0$ であるから、常に $-t-1 < t-1$ が成り立つ。したがって、$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$-t-1$	$\cdots$	$t-1$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

ゆえに、$f(x)$ は $x = t-1$ のとき極小値をとる。その値は、

$$\begin{aligned} f(t-1) &= (t-1)^3 + 3(t-1)^2 - 3(t^2 - 1)(t-1) + 2t^3 - 3t^2 + 1 \end{aligned}$$

ここで、(1) の結果より $2t^3 - 3t^2 + 1 = (t-1)^2(2t+1)$ であり、また $t^2 - 1 = (t-1)(t+1)$ であることを用いると、

$$\begin{aligned} f(t-1) &= (t-1)^3 + 3(t-1)^2 - 3(t-1)^2(t+1) + (t-1)^2(2t+1) \\ &= (t-1)^2 \{ (t-1) + 3 - 3(t+1) + (2t+1) \} \\ &= (t-1)^2 ( t + 2 - 3t - 3 + 2t + 1 ) \\ &= (t-1)^2 \cdot 0 \\ &= 0 \end{aligned}$$

よって、$f(x)$ は極小値 $0$ をもつことが示された。

(3) (2) より、$f(x)$ は $x = -t-1$ で極大、$x = t-1$ で極小となる。 $t > 0$ より $-t-1 < -1$ であるから、極大値をとる $x$ は常に区間 $-1 \leqq x \leqq 2$ の左側にある。したがって、区間 $-1 \leqq x \leqq 2$ における最小値は、極小値をとる $x=t-1$ が区間内にあるかどうかで場合分けをする。また、最大値は区間の端点 $x=-1$ または $x=2$ のいずれかでとるため、両端の値を比較する。

端点での値は、

$$\begin{aligned} f(-1) &= (-1)^3 + 3(-1)^2 - 3(t^2 - 1)(-1) + 2t^3 - 3t^2 + 1 \\ &= -1 + 3 + 3t^2 - 3 + 2t^3 - 3t^2 + 1 \\ &= 2t^3 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} f(2) &= 2^3 + 3 \cdot 2^2 - 3(t^2 - 1) \cdot 2 + 2t^3 - 3t^2 + 1 \\ &= 8 + 12 - 6t^2 + 6 + 2t^3 - 3t^2 + 1 \\ &= 2t^3 - 9t^2 + 27 \end{aligned}$$

[最小値 $m$ について]

極小値をとる $x=t-1$ と区間 $[-1, 2]$ の位置関係を考える。 $t > 0$ より $-1 < t-1$ は常に成り立つため、$t-1 \leqq 2$ かどうかで分ける。

(i) $t-1 \leqq 2$ すなわち $0 < t \leqq 3$ のとき区間内に極小値をとる点が含まれるので、最小値は極小値に等しい。

$$m = f(t-1) = 0$$

(ii) $t-1 > 2$ すなわち $t > 3$ のとき区間 $-1 \leqq x \leqq 2$ において $f'(x) < 0$ となり、$f(x)$ は単調減少する。最小値は右端点での値となる。

$$m = f(2) = 2t^3 - 9t^2 + 27$$

[最大値 $M$ について]

$f(-1)$ と $f(2)$ の大小を比較する。

$$\begin{aligned} f(-1) - f(2) &= 2t^3 - (2t^3 - 9t^2 + 27) \\ &= 9t^2 - 27 \\ &= 9(t^2 - 3) \\ &= 9(t + \sqrt{3})(t - \sqrt{3}) \end{aligned}$$

$t > 0$ であるから、$t = \sqrt{3}$ を境界として大小が入れ替わる。

(ア) $0 < t \leqq \sqrt{3}$ のとき $f(-1) \leqq f(2)$ となるため、最大値は $x=2$ のとき。

$$M = f(2) = 2t^3 - 9t^2 + 27$$

(イ) $t > \sqrt{3}$ のとき $f(-1) > f(2)$ となるため、最大値は $x=-1$ のとき。

$$M = f(-1) = 2t^3$$

解説

3次関数の最大・最小を求める典型問題である。
文字定数 $t$ を含むため、極値をとる $x$ 座標と区間の位置関係、および区間の両端における関数値の大小関係に注意して場合分けを行う必要がある。
(1) の因数分解を (2) で極小値を計算する際に活用することで、式変形の見通しが良くなり、計算ミスを防ぐことができる。
最大値と最小値で場合分けの境界（$t=3$ と $t=\sqrt{3}$）が異なるため、無理に1つの場合分けにまとめるより、最大値・最小値についてそれぞれ独立して答える方が論理が明快になる。