数学2 最大最小・解の個数問題 50 解説

方針・初手

$t = 2^x + 2^{-x}$ とおき、$g(x)$ を $t$ の関数として表す。相加平均と相乗平均の大小関係を用いて、$t$ の取り得る値の範囲を求める。導関数を用いて $t$ の関数の増減を調べ、最小値と、そのときの $t$ の値を求める。最後に、求めた $t$ の値から元の変数 $x$ の値を計算する。

解法1

$t = 2^x + 2^{-x}$ とおく。

$2^x > 0$、$2^{-x} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より、

$$2^x + 2^{-x} \geqq 2\sqrt{2^x \cdot 2^{-x}} = 2$$

等号成立は $2^x = 2^{-x}$、すなわち $x = -x$ より $x = 0$ のときである。したがって、$t \geqq 2$ である。

次に、$4^x + 4^{-x}$ と $8^x + 8^{-x}$ を $t$ を用いて表す。

$$4^x + 4^{-x} = (2^x + 2^{-x})^2 - 2 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} = t^2 - 2$$

$$8^x + 8^{-x} = (2^x + 2^{-x})^3 - 3 \cdot 2^x \cdot 2^{-x} (2^x + 2^{-x}) = t^3 - 3t$$

これらを与式に代入し、$g(x)$ を $t$ の関数 $f(t)$ とおくと、

$$f(t) = (t^3 - 3t) - 10(t^2 - 2) + 35t - 55$$

$$f(t) = t^3 - 10t^2 + 32t - 35$$

$f(t)$ を $t$ で微分すると、

$$f'(t) = 3t^2 - 20t + 32 = (3t - 8)(t - 4)$$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = \frac{8}{3}, 4$ のときである。

$t \geqq 2$ における $f(t)$ の増減表は以下のようになる。

$t$	$2$	$\cdots$	$\frac{8}{3}$	$\cdots$	$4$	$\cdots$
$f'(t)$		$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(t)$	$-3$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	$-3$	$\nearrow$

ここで、極小値および区間の端点における値を計算する。

$$f(2) = 2^3 - 10 \cdot 2^2 + 32 \cdot 2 - 35 = 8 - 40 + 64 - 35 = -3$$

$$f(4) = 4^3 - 10 \cdot 4^2 + 32 \cdot 4 - 35 = 64 - 160 + 128 - 35 = -3$$

したがって、$t \geqq 2$ における $f(t)$ の最小値は $-3$ である。

また、最小値をとる $t$ の値は $t = 2, 4$ である。それぞれのときの $x$ の値を求める。

(i) $t = 2$ のとき

$$2^x + 2^{-x} = 2$$

両辺に $2^x$ を掛けて整理すると、

$$(2^x)^2 - 2 \cdot 2^x + 1 = 0$$

$$(2^x - 1)^2 = 0$$

よって $2^x = 1$ となり、$x = 0$ である。

(ii) $t = 4$ のとき

$$2^x + 2^{-x} = 4$$

両辺に $2^x$ を掛けて整理すると、

$$(2^x)^2 - 4 \cdot 2^x + 1 = 0$$

解の公式より、

$$2^x = 2 \pm \sqrt{3}$$

$2 \pm \sqrt{3} > 0$ であるから、両辺を底が2の対数にとると、

$$x = \log_2 (2 \pm \sqrt{3})$$

(i), (ii) より、最小値は $-3$ であり、そのときの $x$ の値は $x = 0, \log_2 (2 \pm \sqrt{3})$ である。

解説

指数関数の和や差を含む関数を扱う際の典型問題である。$a^x + a^{-x}$ の形が見える場合は、これを1つの文字 $t$ で置き換えることで、多項式関数の最大・最小問題に帰着させることができる。置き換えを行った際は、必ず新しい変数の定義域を確認する必要がある。本問のように逆数同士の和が表れる場合は、相加平均と相乗平均の大小関係を用いるのが定石である。最後に最小値をとる $t$ の値から $x$ の値を逆算する際、$2^x$ についての2次方程式を導いて解く手順も頻出であるため、確実に押さえておきたい。