数学2 最大最小・解の個数 問題 55 解説

方針・初手

$f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx$ とし、$y=f(x)$ と $y=c$ のグラフが相異なる3つの交点を持つための条件を考える。3次関数が直線 $y=c$ と3点で交わるためには、極大値と極小値を持ち、かつその間に $c$ が存在することが必要十分である。ここから $a^2 > b$ を導く。 後半は、$g(x) = f(x) - c$ とおき、$g(x) = 0$ の3つの実数解が指定された開区間に含まれることを示す。区間の両端における $g(x)$ の符号を調べることで、その外側に解が存在しないことを論証する。

解法1

$f(x) = x^3 + 3ax^2 + 3bx$ とする。 関数 $y = f(x)$ と直線 $y = c$ が相異なる3つの交点を持つための必要十分条件は、$f(x)$ が極値（極大値と極小値）を持ち、かつ

$$\text{（極小値）} < c < \text{（極大値）}$$

が成り立つことである。 $f(x)$ を微分すると

$$f'(x) = 3x^2 + 6ax + 3b = 3(x^2 + 2ax + b)$$

$f(x)$ が極値を持つためには、2次方程式 $f'(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つ必要がある。 判別式を $D$ とすると、

$$\frac{D}{4} = a^2 - b > 0$$

よって、$a^2 > b$ が成立することが示された。

次に、後半部分を示す。$d = \sqrt{a^2 - b}$ とおくと、$d > 0$ である。 極値をとる $x$ の値は $f'(x) = 0$ の解であり、

$$x = -a \pm \sqrt{a^2 - b} = -a \pm d$$

である。$f(x)$ の $x^3$ の係数は正なので、$f(x)$ は $x = -a - d$ で極大値、$x = -a + d$ で極小値をとる。 交点の $x$ 座標は、方程式 $f(x) - c = 0$ の実数解である。 $g(x) = f(x) - c = x^3 + 3ax^2 + 3bx - c$ とおく。 条件より、$g(-a - d) > 0$ かつ $g(-a + d) < 0$ が成り立っている。

ここで、$g(x)$ を $\frac{1}{3}f'(x) = x^2 + 2ax + b$ で割ることを考える。

$$g(x) = (x + a)(x^2 + 2ax + b) - 2(a^2 - b)x - ab - c$$

$d^2 = a^2 - b$ であるから、

$$g(x) = (x + a)(x^2 + 2ax + b) - 2d^2x - ab - c$$

と表せる。 これを用いて、極値をとる点における $g(x)$ の値を求めると、$x = -a \pm d$ において $x^2 + 2ax + b = 0$ であるため、

$$g(-a - d) = -2d^2(-a - d) - ab - c = 2ad^2 + 2d^3 - ab - c$$

$$g(-a + d) = -2d^2(-a + d) - ab - c = 2ad^2 - 2d^3 - ab - c$$

となる。

示すべきことは、$g(x) = 0$ の3つの実数解がすべて開区間 $(-a - 2d, -a + 2d)$ に含まれることである。 区間の両端 $x = -a - 2d$ と $x = -a + 2d$ における $g(x)$ の値を調べる。 $x = -a - 2d$ すなわち $x + a = -2d$ のとき、$(x+a)^2 - a^2 + b = 4d^2 - d^2 = 3d^2$ となることに注意して $g(-a - 2d)$ を計算する。

$$\begin{aligned} g(-a - 2d) &= (-2d)\{(-2d)^2 - a^2 + b\} - 2d^2(-a - 2d) - ab - c \\ &= (-2d)(4d^2 - d^2) + 2ad^2 + 4d^3 - ab - c \\ &= -6d^3 + 2ad^2 + 4d^3 - ab - c \\ &= -2d^3 + 2ad^2 - ab - c \end{aligned}$$

これは $g(-a + d)$ に等しい。すなわち、

$$g(-a - 2d) = g(-a + d) < 0$$

である。

同様に、$x = -a + 2d$ すなわち $x + a = 2d$ のとき、

$$\begin{aligned} g(-a + 2d) &= (2d)\{(2d)^2 - a^2 + b\} - 2d^2(-a + 2d) - ab - c \\ &= (2d)(3d^2) + 2ad^2 - 4d^3 - ab - c \\ &= 6d^3 + 2ad^2 - 4d^3 - ab - c \\ &= 2d^3 + 2ad^2 - ab - c \end{aligned}$$

これは $g(-a - d)$ に等しい。すなわち、

$$g(-a + 2d) = g(-a - d) > 0$$

である。

$g(x)$ の増減を考えると、$x \leqq -a - 2d$ の範囲では $g(x)$ は単調に増加し、最大値は $g(-a - 2d) < 0$ であるため、$g(x) = 0$ となる解を持たない。 また、$x \geqq -a + 2d$ の範囲では $g(x)$ は単調に増加し、最小値は $g(-a + 2d) > 0$ であるため、$g(x) = 0$ となる解を持たない。 したがって、$g(x) = 0$ の3つの実数解はすべて開区間 $(-a - 2d, -a + 2d)$ に含まれる。 すなわち、すべての交点の $x$ 座標は $(-a - 2\sqrt{a^2 - b}, -a + 2\sqrt{a^2 - b})$ に含まれることが示された。

解法2

平行移動を利用して計算を簡略化する。 方程式 $x^3 + 3ax^2 + 3bx - c = 0$ の解の存在範囲を考える。 $x = t - a$ とおき、方程式を $t$ について整理する。

$$(t - a)^3 + 3a(t - a)^2 + 3b(t - a) - c = 0$$

$$(t^3 - 3at^2 + 3a^2t - a^3) + 3a(t^2 - 2at + a^2) + 3bt - 3ab - c = 0$$

$$t^3 - 3(a^2 - b)t + 2a^3 - 3ab - c = 0$$

ここで、$A = a^2 - b$、$B = 2a^3 - 3ab - c$ とおくと、方程式は

$$t^3 - 3At + B = 0$$

となる。 この方程式が相異なる3つの実数解を持つことが条件である。 $h(t) = t^3 - 3At + B$ とおくと、$h'(t) = 3t^2 - 3A = 3(t^2 - A)$。 $h(t)$ が極値を持つ必要があるので、$A > 0$、すなわち $a^2 - b > 0$ が成り立つ（前半の証明）。

後半の証明について、$t$ の方程式の解が、開区間 $(-2\sqrt{A}, 2\sqrt{A})$ に含まれることを示せばよい。 $h(t)$ は $t = -\sqrt{A}$ で極大、$t = \sqrt{A}$ で極小となる。 相異なる3つの実数解を持つ条件から、

$$h(-\sqrt{A}) = 2A\sqrt{A} + B > 0$$

$$h(\sqrt{A}) = -2A\sqrt{A} + B < 0$$

が成り立つ。 区間の両端 $t = \pm 2\sqrt{A}$ における $h(t)$ の値を調べる。

$$h(-2\sqrt{A}) = (-2\sqrt{A})^3 - 3A(-2\sqrt{A}) + B = -8A\sqrt{A} + 6A\sqrt{A} + B = -2A\sqrt{A} + B$$

これは $h(\sqrt{A})$ に等しく、負である。

$$h(2\sqrt{A}) = (2\sqrt{A})^3 - 3A(2\sqrt{A}) + B = 8A\sqrt{A} - 6A\sqrt{A} + B = 2A\sqrt{A} + B$$

これは $h(-\sqrt{A})$ に等しく、正である。

増減表を考えると、$t \leqq -2\sqrt{A}$ において $h(t)$ は単調増加であり、$h(t) \leqq h(-2\sqrt{A}) < 0$ となるため解を持たない。 また、$t \geqq 2\sqrt{A}$ において $h(t)$ は単調増加であり、$h(t) \geqq h(2\sqrt{A}) > 0$ となるため解を持たない。 したがって、$h(t) = 0$ の3つの実数解はすべて $-2\sqrt{A} < t < 2\sqrt{A}$ を満たす。 $t = x + a$、$A = a^2 - b$ を代入し直すと、

$$-2\sqrt{a^2 - b} < x + a < 2\sqrt{a^2 - b}$$

$$-a - 2\sqrt{a^2 - b} < x < -a + 2\sqrt{a^2 - b}$$

となり、示された。

解説

• 3次関数のグラフと $x$ 軸の共有点の個数に関する基本的な条件（極値の符号が異なること）を用いる問題である。
• 計算の工夫が鍵となる。解法1のように多項式の割り算（次数下げ）を利用する方法や、解法2のように変曲点が $y$ 軸上にくるように平行移動（$x = t - a$ の置換）をする方法は、3次関数の計算において非常に有効な定石である。
• 本問で示した「一方の極値をとる $x$ から極値間の距離だけ外側に進んだ点での関数値が、他方の極値に等しくなる」という事実は、3次関数のグラフが変曲点に関して点対称であることから導かれる「比率の性質（いわゆる1:2の法則）」を数式で表したものである。入試では結果のみを利用するのではなく、本解法のように関数値を比較して論証するのが確実である。

答え

$y=x^3+3ax^2+3bx$ と $y=c$ が相異なる3つの交点を持つ条件（極値を持ち、極大値と極小値の間に $c$ があること）から、$a^2>b$ を示した。

交点の $x$ 座標を求める方程式について、関数値を評価し、$x \leqq -a-2\sqrt{a^2-b}$ および $x \geqq -a+2\sqrt{a^2-b}$ の範囲では解を持たないことを示し、すべての解が開区間 $(-a-2\sqrt{a^2-b}, -a+2\sqrt{a^2-b})$ に含まれることを示した。