数学2 最大最小・解の個数問題 57 解説

方針・初手

底面となる正方形を含む平面を固定し、その平面と球の中心との距離を変数に設定する。底面積と高さの最大値をこの変数で表し、体積を1変数の関数に帰着させてから最大値を求める。

解法1

半径 $1$ の球面を $S$ とし、その中心を原点 $O$ とする。球面上の4点 $B_1, B_2, B_3, B_4$ は正方形をなすため、これらは同一平面上にある。この平面を $\alpha$ とする。平面 $\alpha$ と原点 $O$ との距離を $d$ とおく。4点が球面 $S$ 上にあることから、$0 \le d < 1$ である。

平面 $\alpha$ による球面 $S$ の切り口は円となり、その半径を $r$ とすると、三平方の定理より

$$r = \sqrt{1 - d^2}$$

である。正方形 $B_1B_2B_3B_4$ はこの円に内接するため、その対角線の長さは $2r$ となる。したがって、底面である正方形の面積 $T$ は

$$T = \frac{1}{2} \cdot (2r)^2 = 2r^2 = 2(1 - d^2)$$

となる。

次に、四角錐の高さ $h$ を考える。高さ $h$ は、球面 $S$ 上の点 $A$ と平面 $\alpha$ との距離である。平面 $\alpha$ を固定したとき、$h$ が最大となるのは、点 $A$ が球面 $S$ 上において平面 $\alpha$ から最も離れた位置にあるときであり、その最大値は

$$h = 1 + d$$

である。このとき、四角錐 $AB_1B_2B_3B_4$ の体積 $V$ は

$$V = \frac{1}{3} T h = \frac{1}{3} \cdot 2(1 - d^2)(1 + d) = \frac{2}{3} (1 - d)(1 + d)^2$$

となる。

ここで、$f(d) = (1 - d)(1 + d)^2$ とおき、$0 \le d < 1$ における増減を調べる。 $f(d)$ を $d$ について微分すると

$$f'(d) = - (1 + d)^2 + (1 - d) \cdot 2(1 + d) = (1 + d) \{ -(1 + d) + 2(1 - d) \} = (1 + d)(1 - 3d)$$

となる。 $0 \le d < 1$ において $f'(d) = 0$ となるのは $d = \frac{1}{3}$ のときである。 $0 \le d < \frac{1}{3}$ のとき $f'(d) > 0$ であり、$f(d)$ は単調に増加する。 $\frac{1}{3} < d < 1$ のとき $f'(d) < 0$ であり、$f(d)$ は単調に減少する。

よって、$f(d)$ は $d = \frac{1}{3}$ のとき最大値をとる。このときの体積 $V$ の最大値は

$$V = \frac{2}{3} f \left( \frac{1}{3} \right) = \frac{2}{3} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \left( 1 + \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{16}{9} = \frac{64}{81}$$

となる。（実際に、$d = \frac{1}{3}$ となる平面 $\alpha$ と、その切り口の円に内接する正方形、および平面からの距離が $1+d$ となる点 $A$ をとることは可能であり、条件を満たす5点は存在する。）