数学2 最大最小・解の個数問題 58 解説

方針・初手

点 $\mathrm{P}$、$\mathrm{Q}$、$\mathrm{R}$ の座標から三角形の面積を立式し、$p, q, r$ の関係式を導く。面積が $\frac{1}{3}$ であることと各点が辺上にあることから、変数の定義域を正確に求めることが第一歩である。(2) は (1) で求めた関係式を用いて $\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{OQ}}$ を $p$ の1変数の関数として表し、微分を用いて最大値と最小値を求める。

解法1

(1)

点 $\mathrm{P}(p, 0)$ は辺 $\mathrm{OA}$ 上、点 $\mathrm{Q}(0, q)$ は辺 $\mathrm{OC}$ 上、点 $\mathrm{R}(r, 1)$ は辺 $\mathrm{BC}$ 上にあるので、

$$0 \le p \le 1, \quad 0 \le q \le 1, \quad 0 \le r \le 1$$

である。

$\triangle\mathrm{OPQ}$ の面積は $\frac{1}{2}pq$ であり、これが $\frac{1}{3}$ であるから、

$$\frac{1}{2}pq = \frac{1}{3} \iff pq = \frac{2}{3}$$

面積が正であることから $p > 0$ であり、$q = \frac{2}{3p}$ と表せる。

$q \le 1$ より $\frac{2}{3p} \le 1$、すなわち $p \ge \frac{2}{3}$ となる。

これと $0 \le p \le 1$ より、$p$ のとりうる値の範囲は、

$$\frac{2}{3} \le p \le 1$$

このとき、$q = \frac{2}{3p}$ は単調減少であるから、$q$ のとりうる値の範囲は、

$$\frac{2}{3} \le q \le 1$$

次に $\triangle\mathrm{PQR}$ の面積について考える。ベクトル $\vec{\mathrm{QP}}$、$\vec{\mathrm{QR}}$ の成分は、

$$\begin{aligned} \vec{\mathrm{QP}} &= (p, -q) \\ \vec{\mathrm{QR}} &= (r, 1-q) \end{aligned}$$

$\triangle\mathrm{PQR}$ の面積が $\frac{1}{3}$ であるから、

$$\frac{1}{2}|p(1-q) - (-q)r| = \frac{1}{3}$$

$$|p - pq + qr| = \frac{2}{3}$$

$pq = \frac{2}{3}$ を代入すると、

$$\left|p - \frac{2}{3} + qr\right| = \frac{2}{3}$$

絶対値を外すと、

$$p - \frac{2}{3} + qr = \pm \frac{2}{3}$$

$$qr = \frac{4}{3} - p \quad \text{または} \quad qr = -p$$

ここで、$p \ge \frac{2}{3} > 0$ かつ $q > 0, r \ge 0$ であるから $qr \ge 0$ であり、$qr = -p$ は不適である。

よって $qr = \frac{4}{3} - p$ となり、

$$r = \frac{1}{q} \left(\frac{4}{3} - p\right) = \frac{3p}{2} \left(\frac{4}{3} - p\right) = 2p - \frac{3}{2}p^2$$

$r$ のとりうる値の範囲を求めるため、平方完成すると、

$$r = -\frac{3}{2} \left(p - \frac{2}{3}\right)^2 + \frac{2}{3}$$

$\frac{2}{3} \le p \le 1$ において、$r$ は $p$ について単調減少である。

$p = \frac{2}{3}$ のとき $r = \frac{2}{3}$、$p = 1$ のとき $r = \frac{1}{2}$ であるから、$r$ のとりうる値の範囲は、

$$\frac{1}{2} \le r \le \frac{2}{3}$$

（これは条件 $0 \le r \le 1$ を満たしている。）

(2)

$\mathrm{C}(0, 1)$、$\mathrm{R}(r, 1)$ より $\mathrm{CR} = r$ であり、$\mathrm{O}(0, 0)$、$\mathrm{Q}(0, q)$ より $\mathrm{OQ} = q$ である。

求める値 $\frac{\mathrm{CR}}{\mathrm{OQ}}$ を $f(p)$ とおくと、

$$f(p) = \frac{r}{q} = \frac{2p - \frac{3}{2}p^2}{\frac{2}{3p}} = 3p^2 - \frac{9}{4}p^3$$

$f(p)$ を $p$ で微分すると、

$$f'(p) = 6p - \frac{27}{4}p^2 = \frac{3}{4}p(8 - 9p)$$

$f'(p) = 0$ となる $p$ の値は $p = 0, \frac{8}{9}$ である。

$p$ の範囲 $\frac{2}{3} \le p \le 1$ において、$f'(p) > 0$ となるのは $\frac{2}{3} \le p < \frac{8}{9}$ のときであり、$f'(p) < 0$ となるのは $\frac{8}{9} < p \le 1$ のときである。

したがって、$f(p)$ は $p = \frac{8}{9}$ で極大かつ最大となる。

端点と極大値における $f(p)$ の値を求める。

$p = \frac{2}{3}$ のとき

$$f\left(\frac{2}{3}\right) = 3 \cdot \frac{4}{9} - \frac{9}{4} \cdot \frac{8}{27} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

$p = \frac{8}{9}$ のとき

$$f\left(\frac{8}{9}\right) = 3 \cdot \frac{64}{81} - \frac{9}{4} \cdot \frac{512}{729} = \frac{64}{27} - \frac{128}{81} = \frac{192 - 128}{81} = \frac{64}{81}$$

$p = 1$ のとき

$$f(1) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{3}{4}$$

大小関係を比較すると、

$$\frac{2}{3} = \frac{54}{81}, \quad \frac{3}{4} = \frac{60.75}{81}$$

であるから、最小値は $\frac{2}{3}$、最大値は $\frac{64}{81}$ である。

解説

図形上の点の座標が設定されているので、面積を成分で表して処理する典型的な代数的手法が有効である。絶対値を外す際、$qr \ge 0$ という符号の条件を用いることで場合分けを回避できる点がポイントとなる。あとは基本的な微分の問題に帰着する。変数 $p$ の定義域が正しく設定できていないと、最大値・最小値を誤る可能性があるため、(1) での範囲の導出が極めて重要である。