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数学2 最大最小・解の個数問題 59 解説

方針・初手

(1) 与えられた関数 $f(x)$ を微分して増減を調べる。$p$ が正であることに注意する。

(2) (1) で求めた極大値と極小値の積の符号を調べる。3次関数が極大値と極小値をもち、その積が負であれば、実数解は3つ存在する。

(3) (2) の結果と合わせて、$x = -2p$ および $x = 2p$ での $f(x)$ の値の符号を調べ、中間値の定理の考え方を用いて解の存在範囲を特定する。

(4) $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ の3倍角の公式を利用する形になることを見越して、式変形を行う。

解法1

(1)

$$f(x) = x^3 - 3p^2x + q$$

を微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 3p^2 = 3(x-p)(x+p)$$

となる。$p > 0$ であるから、$f'(x) = 0$ となるのは $x = \pm p$ のときである。$f(x)$ の増減は以下のようになる。

$x < -p$ のとき $f'(x) > 0$

$x = -p$ のとき $f'(x) = 0$

$-p < x < p$ のとき $f'(x) < 0$

$x = p$ のとき $f'(x) = 0$

$x > p$ のとき $f'(x) > 0$

したがって、$f(x)$ は $x = -p$ で極大、$x = p$ で極小となる。それぞれの極値は、

$$f(-p) = (-p)^3 - 3p^2(-p) + q = 2p^3 + q$$

$$f(p) = p^3 - 3p^2(p) + q = -2p^3 + q$$

となる。

(2)

与えられた条件 $-2p^3 < q < 2p^3$ より、

$$2p^3 + q > 0$$

かつ

$$-2p^3 + q < 0$$

が成り立つ。よって、(1) で求めた極大値と極小値について、

$$f(-p) > 0, \quad f(p) < 0$$

となる。関数 $f(x)$ は連続であり、$f(-p) > 0$ かつ $f(p) < 0$ であることから、$x < -p$、$-p < x < p$、$p < x$ の各区間にそれぞれ1つずつ、合計3つの相異なる実数解を持つことが示された。

(3)

$x = -2p$ および $x = 2p$ における $f(x)$ の値を調べる。

$$f(-2p) = (-2p)^3 - 3p^2(-2p) + q = -8p^3 + 6p^3 + q = -2p^3 + q$$

$$f(2p) = (2p)^3 - 3p^2(2p) + q = 8p^3 - 6p^3 + q = 2p^3 + q$$

条件 $-2p^3 < q < 2p^3$ より、

$$f(-2p) < 0, \quad f(2p) > 0$$

であることが分かる。

(1), (2) の結果と合わせて、$f(-2p) < 0$、$f(-p) > 0$、$f(p) < 0$、$f(2p) > 0$ であるから、$f(x) = 0$ の3つの解を $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) とすると、

$$-2p < \alpha < -p$$

$$-p < \beta < p$$

$$p < \gamma < 2p$$

が成り立つ。したがって、3つの解はすべて $-2p < x < 2p$ をみたすことが示された。

(4)

$2p\cos\theta$ が $f(x) = 0$ の解であるから、$f(2p\cos\theta) = 0$ が成り立つ。代入して整理すると、

$$\begin{aligned} f(2p\cos\theta) &= (2p\cos\theta)^3 - 3p^2(2p\cos\theta) + q \\ &= 8p^3\cos^3\theta - 6p^3\cos\theta + q \\ &= 2p^3(4\cos^3\theta - 3\cos\theta) + q = 0 \end{aligned}$$

となる。3倍角の公式 $\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ を用いると、

$$2p^3\cos 3\theta + q = 0$$

が成り立つ。

次に、$x = 2p\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)$ を $f(x)$ に代入する。

$$\begin{aligned} f\left(2p\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right) &= \left(2p\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right)^3 - 3p^2\left(2p\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right) + q \\ &= 2p^3\left(4\cos^3\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) - 3\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right) + q \end{aligned}$$

ここでも3倍角の公式を用いると、

$$\begin{aligned} 4\cos^3\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) - 3\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right) &= \cos\left(3\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right) \\ &= \cos(3\theta + 2\pi) \\ &= \cos 3\theta \end{aligned}$$

となるため、

$$f\left(2p\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 2p^3\cos 3\theta + q = 0$$

となり、$2p\cos\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)$ も解であることが示された。

同様に、$x = 2p\cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$ を $f(x)$ に代入する。

$$\begin{aligned} f\left(2p\cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)\right) &= 2p^3\left(4\cos^3\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right) - 3\cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)\right) + q \\ &= 2p^3\cos\left(3\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)\right) + q \\ &= 2p^3\cos(3\theta + 4\pi) + q \\ &= 2p^3\cos 3\theta + q = 0 \end{aligned}$$

となり、$2p\cos\left(\theta + \frac{4\pi}{3}\right)$ も解であることが示された。