数学2 最大最小・解の個数問題 63 解説

方針・初手

(1) は関数 $f(x)$ の極値を調べるため、まず導関数 $f'(x)$ を計算し、$f'(x)=0$ となる $x$ の値を求める。そして、その値の前後での $f'(x)$ の符号変化を調べ、増減表をかいて極大値をもつことを示す。

(2) は (1) で求めた極大値 $M(a)$ の最大・最小を求める問題である。$M(a)$ は $\sin a$ の2次式となるため、$\sin a = t$ とおき、$t$ の関数の最大・最小問題として処理する。このとき、$t$ のとり得る値の範囲に注意する。

解法1

(1)

与えられた関数 $f(x)$ を $x$ について微分する。

$$f'(x) = 6x^2 - 2(6 + 3\sin a)x + 12\sin a$$

右辺を $6$ でくくり、因数分解を行う。

$$\begin{aligned} f'(x) &= 6 \left\{ x^2 - (2 + \sin a)x + 2\sin a \right\} \\ &= 6(x - 2)(x - \sin a) \end{aligned}$$

$f'(x) = 0$ とすると、$x = 2, \sin a$ である。

ここで、$a$ は実数であるから、$-1 \leqq \sin a \leqq 1$ が成り立つ。

したがって、常に $\sin a < 2$ が成り立つため、$f'(x) = 0$ は常に異なる2つの実数解をもつ。

$f(x)$ の増減表は以下のようになる。

$x$	$\cdots$	$\sin a$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	極大	$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(x)$ は $x = \sin a$ のときただ1つの極大値をもつ。

その極大値 $M(a)$ は $M(a) = f(\sin a)$ であるから、

$$\begin{aligned} M(a) &= 2\sin^3 a - (6 + 3\sin a)\sin^2 a + 12\sin^2 a + \sin^3 a + 6\sin a + 5 \\ &= 2\sin^3 a - 6\sin^2 a - 3\sin^3 a + 12\sin^2 a + \sin^3 a + 6\sin a + 5 \\ &= 6\sin^2 a + 6\sin a + 5 \end{aligned}$$

(2)

(1) の結果より、$M(a) = 6\sin^2 a + 6\sin a + 5$ である。

$\sin a = t$ とおく。

$0 \leqq a < 2\pi$ より、$t$ のとり得る値の範囲は $-1 \leqq t \leqq 1$ である。

$M(a)$ を $t$ の関数とみて $g(t)$ とおくと、

$$g(t) = 6t^2 + 6t + 5$$

右辺を平方完成する。

$$\begin{aligned} g(t) &= 6 \left( t^2 + t \right) + 5 \\ &= 6 \left( t + \frac{1}{2} \right)^2 - 6 \cdot \frac{1}{4} + 5 \\ &= 6 \left( t + \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{7}{2} \end{aligned}$$

関数 $y = g(t)$ のグラフは、軸が直線 $t = -\frac{1}{2}$ で下に凸の放物線である。

$-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲において、$g(t)$ は $t = 1$ のとき、最大値 $g(1) = 6 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 + 5 = 17$ をとる。 $t = -\frac{1}{2}$ のとき、最小値 $g \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{7}{2}$ をとる。

最大となるときの $a$ の値を求める。

$t = 1$ より $\sin a = 1$ であり、$0 \leqq a < 2\pi$ の範囲で解くと $a = \frac{\pi}{2}$ である。

最小となるときの $a$ の値を求める。

$t = -\frac{1}{2}$ より $\sin a = -\frac{1}{2}$ であり、$0 \leqq a < 2\pi$ の範囲で解くと $a = \frac{7}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ である。

解説

(1) では、導関数 $f'(x) = 0$ の解が $x = 2$ と $x = \sin a$ であることがすぐに分かる形になっている。ここで重要なのは、2つの解の大小関係の確認である。$-1 \leqq \sin a \leqq 1$ であることから、常に $\sin a < 2$ であると断定できるため、場合分けなしで増減表を1つに確定させることができる。

(2) は三角関数の最大・最小の典型問題である。$\sin a$ を別の文字で置き換えて2次関数の問題に帰着させる。文字を置き換えた際に、その新しい文字の変域（この場合は $-1 \leqq t \leqq 1$）を正しく設定することが最も重要である。