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数学2 最大最小・解の個数問題 64 解説

方針・初手

$\cos^2 x$ を $1 - \sin^2 x$ に置き換え、方程式を $\sin x$ のみにする。
$\sin x = t$ とおき、$t$ についての2次方程式に帰着させる。
$0 \leqq x < 2\pi$ より $-1 \leqq t \leqq 1$ であることに注意し、$t$ の値とそれに対応する $x$ の個数の関係を明確にする。
方程式から定数 $a$ を分離し、関数 $y = f(t)$ のグラフと直線 $y = a$ の共有点の個数を視覚的に調べる手法をとる。

解法1

方程式 $\cos^2 x + 2a \sin x - a - 1 = 0$ において、$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ を代入すると、

$$1 - \sin^2 x + 2a \sin x - a - 1 = 0$$

整理して、

$$\sin^2 x - 2a \sin x + a = 0$$

ここで、$t = \sin x$ とおく。

$0 \leqq x < 2\pi$ であるから、$t$ のとり得る値の範囲は $-1 \leqq t \leqq 1$ である。

また、$t$ の値1つに対して存在する $x$ の個数は以下のようになる。

$t = \pm 1$ のとき、1個（$t = 1$ で $x = \frac{\pi}{2}$、$t = -1$ で $x = \frac{3\pi}{2}$）
$-1 < t < 1$ のとき、2個
$t < -1, \ 1 < t$ のとき、0個

方程式は $t^2 - 2at + a = 0$ となり、これを変形すると、

$$t^2 = a(2t - 1)$$

$t = \frac{1}{2}$ は $t^2 = \frac{1}{4}$、$a(2t - 1) = 0$ となり等式を満たさないため、解ではない。

したがって、両辺を $2t - 1$ で割ることができ、次のように定数 $a$ を分離できる。

$$a = \frac{t^2}{2t - 1}$$

関数 $f(t) = \frac{t^2}{2t - 1}$ $(-1 \leqq t \leqq 1)$ とおき、このグラフと直線 $y = a$ の共有点を調べる。

$f(t)$ を微分すると、

$$f'(t) = \frac{2t(2t - 1) - t^2 \cdot 2}{(2t - 1)^2} = \frac{2t^2 - 2t}{(2t - 1)^2} = \frac{2t(t - 1)}{(2t - 1)^2}$$

$f'(t) = 0$ となるのは $t = 0, 1$ のときである。

$-1 \leqq t \leqq 1$ における $f(t)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|ccccccc} t & -1 & \cdots & 0 & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & 1 \\ \hline f'(t) & & + & 0 & - & \times & - & 0 \\ \hline f(t) & -\frac{1}{3} & \nearrow & 0 & \searrow & \times & \searrow & 1 \\ \end{array}$$

また、$t = \frac{1}{2}$ における極限は以下の通りである。

$$\lim_{t \to \frac{1}{2}-0} f(t) = -\infty$$

$$\lim_{t \to \frac{1}{2}+0} f(t) = \infty$$

この増減表と極限から $y = f(t)$ のグラフを描き、直線 $y = a$ を上下に動かして、$-1 \leqq t \leqq 1$ における共有点の $t$ 座標の範囲とその個数を調べ、対応する $x$ の個数を求める。

(i) $a < -\frac{1}{3}$ のとき

共有点は $-1 < t < 0$ の範囲に1個存在する。この $t$ に対応する $x$ は2個である。よって、$x$ の個数は2個。

(ii) $a = -\frac{1}{3}$ のとき

共有点は $t = -1$ と $0 < t < \frac{1}{2}$ の範囲に1個ずつ存在する。 $t = -1$ に対応する $x$ は1個、$0 < t < \frac{1}{2}$ に対応する $x$ は2個である。よって、$x$ の個数は $1 + 2 = 3$個。

(iii) $-\frac{1}{3} < a < 0$ のとき

共有点は $-1 < t < 0$ と $0 < t < \frac{1}{2}$ の範囲に1個ずつ存在する。どちらの $t$ にも対応する $x$ は2個である。よって、$x$ の個数は $2 + 2 = 4$個。

(iv) $a = 0$ のとき

共有点は $t = 0$ のみ（1個）である。この $t$ に対応する $x$ は2個である。よって、$x$ の個数は2個。

(v) $0 < a < 1$ のとき

$-1 \leqq t \leqq 1$ の範囲に共有点は存在しない。よって、$x$ の個数は0個。

(vi) $a = 1$ のとき

共有点は $t = 1$ のみ（1個）である。この $t$ に対応する $x$ は1個である。よって、$x$ の個数は1個。

(vii) $a > 1$ のとき

共有点は $\frac{1}{2} < t < 1$ の範囲に1個存在する。この $t$ に対応する $x$ は2個である。よって、$x$ の個数は2個。

解説

三角方程式の解の個数を問う典型的な問題である。$\sin x = t$ とおいた後、$t$ についての方程式の解の個数と、それに対応する $x$ の解の個数が一対一ではないことに注意が必要である。特に $t = \pm 1$ のときは $x$ が1個、$-1 < t < 1$ のときは $x$ が2個となる対応関係を正確に把握して場合分けを行う。

本問のような文字定数 $a$ を含む方程式の実数解の個数を調べる問題では、「定数分離」をしてグラフの共有点を視覚的に捉える手法が非常に有効である。定数分離を行わずに解の配置問題（判別式・軸・境界の符号）として処理することも可能だが、場合分けが極めて煩雑になるため、定数分離が最善策と言える。