数学2 最大最小・解の個数問題 66 解説

方針・初手

指数関数の置き換えを利用して、関数の最大・最小や方程式の解の個数を調べる典型問題である。 (1) は $a^x + a^{-x}$ の形が含まれるため、相加平均と相乗平均の大小関係を利用して最小値を求める。 (2) は $f(x)$ の式をうまく変形し、$t$ で表せるようにまとめる。 (3) は置換した変数 $t$ と元の変数 $x$ の対応関係に注意して解の個数を考える。$t$ の値1つに対して $x$ が何個存在するかを正確に把握することが鍵となる。

解法1

(1)

$4 \cdot 3^x > 0$ かつ $3^{-x} > 0$ であるから、相加平均と相乗平均の大小関係より

$$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x} \geqq 2\sqrt{4 \cdot 3^x \cdot 3^{-x}} = 2\sqrt{4} = 4$$

が成り立つ。等号成立条件は $4 \cdot 3^x = 3^{-x}$ のときである。両辺に $3^x$ を掛けて整理すると

$$\begin{aligned} 4 \cdot 3^{2x} &= 1 \\ 3^{2x} &= \frac{1}{4} \end{aligned}$$

$3^x > 0$ であるから、

$$3^x = \frac{1}{2}$$

底を $3$ とする対数をとって、

$$x = \log_3 \frac{1}{2} = -\log_3 2$$

よって、$x = -\log_3 2$ のとき、最小値 $4$ をとる。

(2)

与えられた $f(x)$ の式を、底が $3$ の指数関数を用いて整理する。

$$\begin{aligned} f(x) &= 16 \cdot (3^x)^2 - 4 \cdot 3^2 \cdot 3^x - 3^2 \cdot 3^{-x} + (3^{-x})^2 \\ &= (4 \cdot 3^x)^2 + (3^{-x})^2 - 36 \cdot 3^x - 9 \cdot 3^{-x} \\ &= (4 \cdot 3^x)^2 + (3^{-x})^2 - 9(4 \cdot 3^x + 3^{-x}) \end{aligned}$$

ここで、$t = 4 \cdot 3^x + 3^{-x}$ の両辺を2乗すると

$$\begin{aligned} t^2 &= (4 \cdot 3^x + 3^{-x})^2 \\ &= 16 \cdot 3^{2x} + 2 \cdot 4 \cdot 3^x \cdot 3^{-x} + 3^{-2x} \\ &= (4 \cdot 3^x)^2 + (3^{-x})^2 + 8 \end{aligned}$$

よって、

$$(4 \cdot 3^x)^2 + (3^{-x})^2 = t^2 - 8$$

これらを $f(x)$ の式に代入して、

$$f(x) = (t^2 - 8) - 9t = t^2 - 9t - 8$$

(3)

方程式 $f(x) = k$ は、(2) の結果より以下のように表せる。

$$t^2 - 9t - 8 = k$$

まず、定数 $t$ の値と、方程式 $4 \cdot 3^x + 3^{-x} = t$ を満たす実数 $x$ の個数の対応関係を調べる。両辺に $3^x$ を掛けて整理すると、

$$4 \cdot (3^x)^2 - t \cdot 3^x + 1 = 0$$

$X = 3^x$ とおくと、$X > 0$ であり、方程式は

$$4X^2 - tX + 1 = 0$$

となる。(1) より $t \geqq 4$ の範囲で考えればよい。この $X$ についての2次方程式の判別式を $D$ とすると、

$$D = (-t)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = t^2 - 16$$

また、解と係数の関係より、2つの解の和は $\frac{t}{4} > 0$、積は $\frac{1}{4} > 0$ であるから、実数解をもてばそれらは必ず正の値となる。

$t > 4$ のとき $D > 0$ となり、$X$ は異なる2つの正の実数解をもつ。$X = 3^x$ は単調増加関数であるため、それぞれに対して実数 $x$ が1つずつ、合計2個存在する。 $t = 4$ のとき $D = 0$ となり、$X = \frac{t}{8} = \frac{1}{2} > 0$ であるから、実数 $x$ は1つだけ存在する。

したがって、$x$ の方程式 $f(x) = k$ が異なる3つの実数解をもつための条件は、$t$ の方程式 $t^2 - 9t - 8 = k$ が、$t = 4$ と $t > 4$ の範囲にそれぞれ1つずつ解をもつことである。

$t = 4$ が解であるから、代入して

$$4^2 - 9 \cdot 4 - 8 = k$$

$$k = 16 - 36 - 8 = -28$$

このとき、$t$ の方程式は

$$t^2 - 9t - 8 = -28$$

$$t^2 - 9t + 20 = 0$$

$$(t - 4)(t - 5) = 0$$

これを解くと $t = 4, 5$ となり、$t > 4$ にもう1つの解をもつという条件を満たしている。次に、各 $t$ に対応する $x$ を求める。

(i) $t = 4$ のとき (1) より、

$$x = -\log_3 2$$

(ii) $t = 5$ のとき $X$ の方程式 $4X^2 - 5X + 1 = 0$ を解く。

$$(4X - 1)(X - 1) = 0$$

$$X = \frac{1}{4}, 1$$

$X = 3^x$ より、

$$3^x = \frac{1}{4}, 1$$

$$x = \log_3 \frac{1}{4}, \log_3 1$$

$$x = -2\log_3 2, 0$$

以上より、求める定数 $k$ の値と $3$ つの実数解が得られる。

解説

指数関数の対称式・交代式に似た形を含む方程式・関数の問題である。 (1) で相加・相乗平均の関係を用いて置換した変数の定義域（取りうる値の範囲）を正しく求めることが第一歩となる。 (3) において、解の個数を問われた際は、「$t$ の方程式の解の個数」と「$x$ の方程式の解の個数」が必ずしも一致しないことに注意が必要である。グラフと横線の交点をイメージするか、あるいは本解説のように判別式や解の配置を論理的に追うことで、定数 $t$ ひとつに対して $x$ がいくつ定まるかを明確にするのが典型的なアプローチである。