数学2 最大最小・解の個数問題 69 解説

方針・初手

与えられた関数 $f(x)$ が奇関数であることに着目し、調べる区間を $0 \leqq x \leqq 1$ に絞る。その後、パラメータ $a$ の値によって極値が区間内に含まれるかどうかで場合分けを行い、$|f(x)|$ の最大値 $M$ を $a$ の関数として表す。最後に、$M$ を最小とする $a$ の値を求める。

解法1

$f(x) = x^3 - 3ax$ において、$f(-x) = (-x)^3 - 3a(-x) = -(x^3 - 3ax) = -f(x)$ であるから、$f(x)$ は奇関数である。したがって、$|f(-x)| = |-f(x)| = |f(x)|$ が成り立つ。

これにより、$-1 \leqq x \leqq 1$ における $|f(x)|$ の最大値 $M$ は、$0 \leqq x \leqq 1$ における $|f(x)|$ の最大値に等しい。以下、$0 \leqq x \leqq 1$ の区間について考える。

$f(x)$ を $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 - 3a = 3(x^2 - a)$$

(i) $a \leqq 0$ のとき

$0 \leqq x \leqq 1$ において $f'(x) \geqq 0$ であるから、$f(x)$ は単調増加する。 $f(0) = 0$ より、$0 \leqq x \leqq 1$ において $f(x) \geqq 0$ となるため、$|f(x)| = f(x)$ である。よって、最大値は $x = 1$ のときにとり、

$$M = f(1) = 1 - 3a$$

$a \leqq 0$ であるから、$M \geqq 1$ を満たす。

(ii) $a > 0$ のとき

$f'(x) = 3(x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a})$ であり、$x \geqq 0$ においては $x = \sqrt{a}$ で極小値をとる。極小値は $f(\sqrt{a}) = a\sqrt{a} - 3a\sqrt{a} = -2a\sqrt{a}$ である。

(ア) $\sqrt{a} \geqq 1$ すなわち $a \geqq 1$ のとき

$0 \leqq x \leqq 1$ において $f'(x) \leqq 0$ であるから、$f(x)$ は単調減少する。 $f(0) = 0$ より $f(x) \leqq 0$ となるため、$|f(x)| = -f(x)$ は単調増加する。よって、最大値は $x = 1$ のときにとり、

$$M = -f(1) = 3a - 1$$

$a \geqq 1$ であるから、$M \geqq 2$ を満たす。

(イ) $0 < \sqrt{a} < 1$ すなわち $0 < a < 1$ のとき

区間 $0 \leqq x \leqq 1$ において、極値は $x = \sqrt{a}$ における極小値のみである。また、両端における値は $f(0) = 0$、$f(1) = 1 - 3a$ である。したがって、$|f(x)|$ の最大値 $M$ は、極小値の絶対値 $|-2a\sqrt{a}| = 2a\sqrt{a}$ と、端点の絶対値 $|1 - 3a|$ のうち、小さくない方となる。すなわち、

$$M = \max(2a\sqrt{a}, |1 - 3a|)$$

ここで、$g(a) = 2a\sqrt{a}$、$h(a) = |1 - 3a|$ とおく。 $g(a)$ と $h(a)$ の大小を比較するため、方程式 $g(a) = h(a)$ を解く。

$$2a\sqrt{a} = |1 - 3a|$$

両辺を2乗して整理すると、

$$\begin{aligned} 4a^3 &= (1 - 3a)^2 \\ 4a^3 - 9a^2 + 6a - 1 &= 0 \\ (a - 1)^2(4a - 1) &= 0 \end{aligned}$$

$0 < a < 1$ における解は $a = \frac{1}{4}$ のみである。

$g(a) = 2a^{\frac{3}{2}}$ は $a > 0$ において単調増加する関数である。一方 $h(a)$ は、$0 < a \leqq \frac{1}{3}$ において $h(a) = 1 - 3a$ で単調減少、$a \geqq \frac{1}{3}$ において $h(a) = 3a - 1$ で単調増加する。

$0 < a < \frac{1}{4}$ の範囲では、$g(a)$ は単調増加、$h(a)$ は単調減少し、かつ $a = \frac{1}{4}$ で $g\left(\frac{1}{4}\right) = h\left(\frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}$ となるため、$g(a) < h(a)$ である。よって、$M = h(a) = 1 - 3a$ となり、この範囲で $M$ は単調減少する。

$\frac{1}{4} \leqq a < 1$ の範囲では、方程式の解が $a = \frac{1}{4}$ のみであることと、関数の連続性、および $g\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{2\sqrt{3}}{9} > 0 = h\left(\frac{1}{3}\right)$ であることから、$g(a) \geqq h(a)$ であると分かる。よって、$M = g(a) = 2a\sqrt{a}$ となり、この範囲で $M$ は単調増加する。

したがって、$0 < a < 1$ における $M$ は $a = \frac{1}{4}$ のとき最小値 $\frac{1}{4}$ をとる。

(i), (ii) より、全ての実数 $a$ について $M$ の値は以下のようになる。

$a \leqq 0$ のとき $M \geqq 1$
$a \geqq 1$ のとき $M \geqq 2$
$0 < a < 1$ のとき $M \geqq \frac{1}{4}$

以上より、$M$ は $a = \frac{1}{4}$ のときに最小値 $\frac{1}{4}$ をとる。

解説

関数の絶対値の最大値を求める問題では、調べる区間の端点における値と、区間内に含まれる極値の絶対値を比較するのが基本定石である。本問では $f(x)$ が奇関数であることに気づくと、調べる区間を半分に減らすことができ、無駄な計算や場合分けを省略できる。パラメータ $a$ による場合分けでは、極値をとる $x$ が指定された区間に含まれるかどうかがポイントとなる。関数のグラフの交点を求める際に3次方程式の因数分解が必要になるが、両端点の値が一致する $a=1$ が重解となることを予想できると容易に因数分解できる。