数学2 最大最小・解の個数問題 72 解説

方針・初手

$\sin x$ と $\cos x$ の対称式で構成された方程式であるため、$t = \sin x + \cos x$ とおく定石を用いる。置換した変数 $t$ のとりうる値の範囲を求めたうえで、与えられた方程式を $t$ の方程式に書き換え、$t$ の実数解の個数とその値の範囲から、対応する $x$ の個数を調べる。

解法1

$t = \sin x + \cos x$ とおく。

三角関数の合成を用いると、

$$t = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

となる。$0 \leqq x < 2\pi$ より $\frac{\pi}{4} \leqq x + \frac{\pi}{4} < \frac{9}{4}\pi$ であるから、$-1 \leqq \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \leqq 1$ である。よって、$t$ のとりうる値の範囲は

$$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$$

となる。次に $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = 1 + 2\sin x \cos x$ より、

$$\sin x \cos x = \frac{t^2 - 1}{2}$$

である。さらに $\sin^3 x + \cos^3 x$ を $t$ で表すと、

$$\begin{aligned} \sin^3 x + \cos^3 x &= (\sin x + \cos x)(\sin^2 x - \sin x \cos x + \cos^2 x) \\ &= t \left( 1 - \frac{t^2 - 1}{2} \right) \\ &= \frac{-t^3 + 3t}{2} \end{aligned}$$

となる。これらを元の与えられた方程式に代入すると、

$$2\sqrt{2} \cdot \frac{-t^3 + 3t}{2} + 3 \cdot \frac{t^2 - 1}{2} = 0$$

両辺に $2$ を掛けて整理すると、

$$-2\sqrt{2}t^3 + 3t^2 + 6\sqrt{2}t - 3 = 0$$

$$2\sqrt{2}t^3 - 3t^2 - 6\sqrt{2}t + 3 = 0$$

ここで、左辺を $f(t)$ とおき、$t$ の関数としての増減を調べる。

$$f(t) = 2\sqrt{2}t^3 - 3t^2 - 6\sqrt{2}t + 3$$

$f(t)$ を $t$ で微分すると、

$$\begin{aligned} f'(t) &= 6\sqrt{2}t^2 - 6t - 6\sqrt{2} \\ &= 6(\sqrt{2}t^2 - t - \sqrt{2}) \end{aligned}$$

$f'(t) = 0$ とすると、解の公式より

$$t = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2})}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2\sqrt{2}} = \frac{1 \pm 3}{2\sqrt{2}}$$

すなわち、$t = \sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}$ となる。 $-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ の範囲において、極値および区間の端点における $f(t)$ の値は以下のようになる。

$$\begin{aligned} f(-\sqrt{2}) &= 2\sqrt{2}(-2\sqrt{2}) - 3(2) - 6\sqrt{2}(-\sqrt{2}) + 3 = -8 - 6 + 12 + 3 = 1 \\ f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) &= 2\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{4}\right) - 3\left(\frac{1}{2}\right) - 6\sqrt{2}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 3 = -1 - \frac{3}{2} + 6 + 3 = \frac{13}{2} \\ f(\sqrt{2}) &= 2\sqrt{2}(2\sqrt{2}) - 3(2) - 6\sqrt{2}(\sqrt{2}) + 3 = 8 - 6 - 12 + 3 = -7 \end{aligned}$$

これより、$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$ における $f(t)$ の増減表は次のようになる。

$t$	$-\sqrt{2}$	$\cdots$	$-\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\cdots$	$\sqrt{2}$
$f'(t)$		$+$	$0$	$-$	$0$
$f(t)$	$1$	$\nearrow$	$\frac{13}{2}$	$\searrow$	$-7$

増減表より、区間 $\left[-\sqrt{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ では $f(t) \geqq 1 > 0$ であり、$f(t) = 0$ となる解は存在しない。一方、区間 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right]$ においては単調減少であり、$f\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) > 0$ かつ $f(\sqrt{2}) < 0$ であるから、中間値の定理により $f(t) = 0$ を満たす実数解 $t$ は、区間 $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \sqrt{2}\right)$ にただ1つ存在する。この解を $\alpha$ とおくと、$-\frac{\sqrt{2}}{2} < \alpha < \sqrt{2}$ である。

最後に、この $t = \alpha$ に対応する $x$ の個数を調べる。 $t = \sqrt{2}\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$ より、

$$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\alpha}{\sqrt{2}}$$

$-\sqrt{2} < \alpha < \sqrt{2}$ を満たすため、$-\frac{1}{2} < \frac{\alpha}{\sqrt{2}} < 1$ となる。 $0 \leqq x < 2\pi$ において $x + \frac{\pi}{4}$ は1周期分の区間 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{9}{4}\pi\right)$ を動くため、$\sin$ の値が $-1$ より大きく $1$ より小さい任意の値をとるとき、対応する角度は1周期内に2つ存在する。したがって、与えられた方程式を満たす $x$ は2個存在する。

解説

$\sin x$ と $\cos x$ に関する対称式の方程式や関数では、$t = \sin x + \cos x$ と置換して $t$ の方程式に帰着させるのが基本である。このとき、必ず変域（$-\sqrt{2} \leqq t \leqq \sqrt{2}$）を確認することが重要である。また、求まった $t$ の値に対して $x$ がいくつ存在するか（$t$ と $x$ の対応関係）を単位円やグラフを用いて正確に把握する必要がある。本問のように $t$ の具体的な値が求まらない場合は、増減表から解の存在範囲を絞り込み、その範囲における $x$ の個数を議論する。