数学2 最大最小・解の個数問題 73 解説

方針・初手

(1) は点 $\text{P}(a, b)$ を通る直線 $y = m(x-a)+b$ と曲線 $y = x^3 - x$ から $y$ を消去した3次方程式が、相異なる3つの実数解をもつような実数 $m$ が存在することを示す。$m$ の値を十分に大きく設定したとき、極大値と極小値の積が負になることを示す方針が簡明である。

(2) は「3次曲線とその割線で囲まれる2つの面積が等しくなる条件」を求める。交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta, \gamma$ ($\alpha < \beta < \gamma$) とおいて定積分を計算し、交点が変曲点に関して対称になること（本問の曲線では変曲点が原点となること）を導出する。

解法1

(1)

点 $\text{P}$ の座標を $(a, b)$ とし、点 $\text{P}$ を通る直線を $l: y = m(x - a) + b$ とおく。

曲線 $C: y = x^3 - x$ と直線 $l$ の交点の $x$ 座標は、次の方程式の実数解である。

$$x^3 - x = m(x - a) + b$$

$$x^3 - (m + 1)x + ma - b = 0$$

この $x$ についての3次方程式が、相異なる3つの実数解をもつような実数 $m$ が存在することを示せばよい。

$f(x) = x^3 - (m + 1)x + ma - b$ とおく。$x$ で微分すると以下のようになる。

$$f'(x) = 3x^2 - (m + 1)$$

$m > -1$ のとき $f'(x) = 0$ は相異なる2つの実数解をもち、$f(x)$ は極大値と極小値をもつ。極値をとる $x$ の値は $x = \pm \sqrt{\frac{m+1}{3}}$ である。

$\alpha = \sqrt{\frac{m+1}{3}}$ とおくと、$\alpha > 0$ であり、$f(x) = 0$ が相異なる3つの実数解をもつための条件は、（極大値）$\times$（極小値）$< 0$、すなわち $f(-\alpha)f(\alpha) < 0$ となることである。

$$f(\alpha) = \alpha^3 - 3\alpha^3 + ma - b = -2\alpha^3 + ma - b$$

$$f(-\alpha) = -\alpha^3 + 3\alpha^3 + ma - b = 2\alpha^3 + ma - b$$

したがって、これらの積は以下のようになる。

$$f(-\alpha)f(\alpha) = (ma - b + 2\alpha^3)(ma - b - 2\alpha^3) = (ma - b)^2 - 4\alpha^6$$

ここで $\alpha^6 = \left( \frac{m+1}{3} \right)^3$ であるから、次のように書ける。

$$f(-\alpha)f(\alpha) = (ma - b)^2 - \frac{4}{27}(m+1)^3$$

上式において、$(ma - b)^2$ は $m$ について2次以下の式であり、$\frac{4}{27}(m+1)^3$ は $m$ についての3次式で $m^3$ の係数が正である。

よって、$m$ を十分に大きい正の実数にとれば、$(ma - b)^2 - \frac{4}{27}(m+1)^3 < 0$ とすることができる。

このような $m$ に対して $f(-\alpha)f(\alpha) < 0$ が成り立ち、$f(x) = 0$ は相異なる3つの実数解をもつため、直線 $l$ は曲線 $C$ と相異なる3点で交わる。

ゆえに、座標平面上のすべての点 $\text{P}$ において条件 (i) を満たす直線が存在することが示された。

(2)

直線 $l$ は $y$ 軸と平行ではないため、$l: y = mx + n$ とおく。

条件より、$C$ と $l$ は相異なる3点で交わる。その交点の $x$ 座標を $\alpha, \beta, \gamma$ （$\alpha < \beta < \gamma$）とする。

これらは3次方程式 $x^3 - (m+1)x - n = 0$ の解であるから、解と係数の関係より以下の3式が成り立つ。

$$\alpha + \beta + \gamma = 0$$

$$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = -(m+1)$$

$$\alpha\beta\gamma = n$$

直線 $l$ と曲線 $C$ で囲まれた2つの部分の面積が等しくなる条件は、次式が成り立つことである。

$$\int_{\alpha}^{\beta} \{ (x^3 - x) - (mx + n) \} dx = \int_{\beta}^{\gamma} \{ (mx + n) - (x^3 - x) \} dx$$

これを変形し、1つの定積分にまとめる。

$$\int_{\alpha}^{\beta} (x^3 - (m+1)x - n) dx + \int_{\beta}^{\gamma} (x^3 - (m+1)x - n) dx = 0$$

$$\int_{\alpha}^{\gamma} (x^3 - (m+1)x - n) dx = 0$$

定積分を計算する。

$$\left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{m+1}{2}x^2 - nx \right]_{\alpha}^{\gamma} = 0$$

$$\frac{1}{4}(\gamma^4 - \alpha^4) - \frac{m+1}{2}(\gamma^2 - \alpha^2) - n(\gamma - \alpha) = 0$$

$\alpha < \gamma$ より $\gamma - \alpha \neq 0$ であるから、両辺を $\gamma - \alpha$ で割る。

$$\frac{1}{4}(\gamma^2 + \alpha^2)(\gamma + \alpha) - \frac{m+1}{2}(\gamma + \alpha) - n = 0$$

解と係数の関係から得られた $\gamma + \alpha = -\beta$ を代入する。

$$-\frac{1}{4}\beta(\gamma^2 + \alpha^2) + \frac{m+1}{2}\beta - n = 0$$

さらに解と係数の関係から得られる $n = \beta^3 - (m+1)\beta$ を代入して整理する。

$$-\frac{1}{4}\beta(\gamma^2 + \alpha^2) + \frac{m+1}{2}\beta - \{ \beta^3 - (m+1)\beta \} = 0$$

$$-\frac{1}{4}\beta(\gamma^2 + \alpha^2) + \frac{3}{2}(m+1)\beta - \beta^3 = 0$$

両辺に $-4$ を掛ける。

$$\beta(\gamma^2 + \alpha^2) - 6(m+1)\beta + 4\beta^3 = 0$$

ここで、解と係数の関係から $m+1 = -(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) = -\beta(\alpha+\gamma) - \gamma\alpha$ である。$\alpha+\gamma = -\beta$ を用いると $m+1 = \beta^2 - \gamma\alpha$ となるので、これを代入する。

$$\beta(\gamma^2 + \alpha^2) - 6(\beta^2 - \gamma\alpha)\beta + 4\beta^3 = 0$$

$$\beta(\gamma^2 + \alpha^2 - 6\beta^2 + 6\gamma\alpha + 4\beta^2) = 0$$

$$\beta(\alpha^2 + 6\alpha\gamma + \gamma^2 - 2\beta^2) = 0$$

$\beta^2 = (-\alpha-\gamma)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\gamma + \gamma^2$ を代入する。

$$\beta \{ \alpha^2 + 6\alpha\gamma + \gamma^2 - 2(\alpha^2 + 2\alpha\gamma + \gamma^2) \} = 0$$

$$\beta(-\alpha^2 + 2\alpha\gamma - \gamma^2) = 0$$

$$-\beta(\alpha - \gamma)^2 = 0$$

$\alpha < \gamma$ より $\alpha - \gamma \neq 0$ であるから、$\beta = 0$ を得る。

$\beta = 0$ のとき、$n = \beta^3 - (m+1)\beta = 0$ となり、直線 $l$ は原点を通る。すなわち、$l$ の方程式は $y = mx$ である。

曲線 $C$ と直線 $l$ が相異なる3点で交わる条件は、$x^3 - x = mx \iff x(x^2 - (m+1)) = 0$ が相異なる3つの実数解をもつことなので、$m+1 > 0 \iff m > -1$ である。

以上より、条件 (ii) を満たす直線 $l$ が存在することは、「点 $\text{P}$ を通り、原点を通る傾き $m > -1$ の直線が存在すること」と同値である。

点 $\text{P}$ の座標を $(X, Y)$ とおく。

(ア) $\text{P}$ が原点 $(0,0)$ のとき

原点を通り、傾き $m > -1$ の直線は無数に存在するので、条件を満たす。

(イ) $X = 0$ かつ $Y \neq 0$ のとき

点 $\text{P}(0, Y)$ と原点を通る直線は $y$ 軸 ($x=0$) のみであるが、これは $y=mx$ の形で表せず不適である。

(ウ) $X \neq 0$ のとき

点 $\text{P}(X, Y)$ と原点を通る直線の傾きは $\frac{Y}{X}$ である。これが $m > -1$ を満たせばよいので、$\frac{Y}{X} > -1$ となる。

$X > 0$ のとき $Y > -X$

$X < 0$ のとき $Y < -X$

(ア)(イ)(ウ)より、点 $\text{P}(X, Y)$ が満たすべき条件は以下のようになる。

$$X > 0 \text{ かつ } Y > -X$$

または

$$X < 0 \text{ かつ } Y < -X$$

または

$$X = 0 \text{ かつ } Y = 0$$

これは不等式 $(X+Y)X > 0$ と原点 $(0,0)$ を合わせた領域である。

解説

3次関数のグラフとその割線に関する標準的な問題である。(1) は任意の点から3本の接線が引ける領域の導出とは異なり、「3点で交わる直線が引ける」ことは常に可能であることを示す問題である。$m$ を変数として極大値と極小値の積を考え、$m \to \infty$ で符号が負になることを利用するのが簡明である。

(2) は「3次関数と直線で囲まれる2つの部分の面積が等しい」という条件から、「直線が3次関数の変曲点を通る」という有名事実を導出する。本問の変曲点は $y''=0$ から原点 $(0,0)$ とすぐわかるが、答案では面積の定積分から交点の $x$ 座標を用いてしっかりと導出する必要がある。