数学2 接線・不等式 問題 2 解説

方針・初手

点Pにおける接線の方程式を求め、4次曲線の方程式と連立する。 接点Pの $x$ 座標 $t$ は重解となるため、連立して得られる4次方程式は $(x-t)^2$ を因数にもつ。 残りの2次方程式が $t$ 以外の相異なる2つの実数解をもつ条件を考える。

解法1

$f(x) = x^4 - 2x^2$ とおくと、$f'(x) = 4x^3 - 4x$ である。 曲線 $C$ 上の点 $\text{P}(t, f(t))$ における接線 $l$ の方程式は、

$$y - (t^4 - 2t^2) = (4t^3 - 4t)(x - t)$$

$$y = (4t^3 - 4t)x - 3t^4 + 2t^2$$

となる。 曲線 $C$ と接線 $l$ の共有点の $x$ 座標は、次の方程式の実数解である。

$$x^4 - 2x^2 = (4t^3 - 4t)x - 3t^4 + 2t^2$$

$$x^4 - 2x^2 - (4t^3 - 4t)x + 3t^4 - 2t^2 = 0$$

接線 $l$ は $x=t$ で曲線 $C$ に接するため、この4次方程式は $(x-t)^2$ を因数にもつ。 左辺を因数分解すると、

$$(x - t)^2 (x^2 + 2tx + 3t^2 - 2) = 0$$

となる。 接線 $l$ が点 $\text{P}$ 以外の相異なる2点で $C$ と交わるための条件は、2次方程式

$$x^2 + 2tx + 3t^2 - 2 = 0$$

が $x=t$ 以外の相異なる2つの実数解をもつことである。 すなわち、以下の2つの条件を同時に満たすことである。

(i) 判別式 $D > 0$

(ii) $x=t$ を解にもたない

条件 (i) について、

$$\frac{D}{4} = t^2 - (3t^2 - 2) = -2t^2 + 2 > 0$$

$$t^2 - 1 < 0$$

$$-1 < t < 1$$

条件 (ii) について、 $x=t$ を代入した値が $0$ にならないことより、

$$t^2 + 2t \cdot t + 3t^2 - 2 \neq 0$$

$$6t^2 - 2 \neq 0$$

$$t \neq \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$$

(i) と (ii) を同時に満たす実数 $t$ の範囲を求めて、

$$-1 < t < -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad -\frac{1}{\sqrt{3}} < t < \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \frac{1}{\sqrt{3}} < t < 1$$

を得る。

解説

この問題では、4次曲線と接線の交点を求める際、接点では重解をもつという性質を利用して因数分解を行うのが典型処理である。 $(x-t)^2$ を因数にもつことを見越して割り算を行えば、残りの2次方程式を容易に導出できる。 また、「交点が $\text{P}$ 以外」という条件の処理において、得られた2次方程式が $x=t$ を解にもつ場合を除外することを忘れないようにしたい。

答え

$-1 < t < -\frac{1}{\sqrt{3}}, \quad -\frac{1}{\sqrt{3}} < t < \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \frac{1}{\sqrt{3}} < t < 1$