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数学2 接線・不等式問題 3 解説

方針・初手

曲線上の接点の $x$ 座標を $t$ とおき、接線の方程式を立てる。その接線が点 $(0, 1)$ を通るという条件から、$t$ に関する方程式を導く。3次関数の場合、接点が異なれば接線も異なるため、この $t$ の方程式が異なる実数解をちょうど2個持つ条件を考えればよい。

解法1

$f(x) = x^3 - ax^2$ とおくと、$f'(x) = 3x^2 - 2ax$ である。

曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(t, t^3 - at^2)$ における接線の方程式は、

$$y - (t^3 - at^2) = (3t^2 - 2at)(x - t)$$

すなわち、

$$y = (3t^2 - 2at)x - 2t^3 + at^2$$

である。この直線が点 $(0, 1)$ を通るので、

$$1 = -2t^3 + at^2$$

$$2t^3 - at^2 + 1 = 0 \quad \cdots (*)$$

が成り立つ。3次関数のグラフにおいて、接点が異なれば接線も異なる。したがって、条件を満たすのは、接点の $x$ 座標 $t$ を求める方程式 $(*)$ がちょうど2つの異なる実数解を持つときである。

$g(t) = 2t^3 - at^2 + 1$ とおく。3次方程式 $g(t) = 0$ がちょうど2つの異なる実数解を持つための条件は、関数 $y = g(t)$ が極値を有し、かつ極大値または極小値の一方が $0$ になることである。

$$g'(t) = 6t^2 - 2at = 2t(3t - a)$$

関数 $g(t)$ が極値を持つためには、$g'(t) = 0$ が異なる2つの実数解を持たなければならないため、$a \neq 0$ である。このとき、$g(t)$ は $t = 0, \frac{a}{3}$ で極値をとる。

極値の積が $0$ になればよいので、

$$g(0)g\left(\frac{a}{3}\right) = 0$$

$$1 \cdot \left( 2\left(\frac{a}{3}\right)^3 - a\left(\frac{a}{3}\right)^2 + 1 \right) = 0$$

$$\frac{2a^3}{27} - \frac{a^3}{9} + 1 = 0$$

$$-\frac{a^3}{27} + 1 = 0$$

$$a^3 = 27$$

$a$ は実数であるから、$a = 3$ となる。これは $a \neq 0$ を満たす。

$a = 3$ のとき、方程式 $(*)$ は、

$$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0$$

$$(t - 1)^2(2t + 1) = 0$$

となるから、接点の $x$ 座標は $t = 1, -\frac{1}{2}$ である。これらを接線の式 $y = (3t^2 - 2at)x - 2t^3 + at^2$ （切片は $1$ と分かっているので $y = (3t^2 - 6t)x + 1$）に代入する。

$t = 1$ のとき、傾きは $3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = -3$ より、

$$y = -3x + 1$$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、傾きは $3 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 6 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}$ より、

$$y = \frac{15}{4}x + 1$$

となる。

解法2

接点に関する方程式 $(*)$ を導くところまでは解法1と同様である。

$$2t^3 - at^2 + 1 = 0 \quad \cdots (*)$$

$t = 0$ はこの方程式を満たさないため、$t \neq 0$ である。両辺を $t^2$ で割り、$a$ について解くと、

$$a = 2t + \frac{1}{t^2}$$

となる。この方程式が異なる実数解をちょうど2個持つ条件は、関数 $h(t) = 2t + \frac{1}{t^2} \ (t \neq 0)$ のグラフと直線 $y = a$ の共有点がちょうど2個になることである。

$$h'(t) = 2 - \frac{2}{t^3} = \frac{2(t^3 - 1)}{t^3} = \frac{2(t - 1)(t^2 + t + 1)}{t^3}$$

すべての実数 $t$ において $t^2 + t + 1 = \left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} > 0$ であるから、$h'(t) = 0$ となるのは $t = 1$ のときのみである。

増減を調べると以下のようになる。

$t < 0$ のとき、$h'(t) > 0$ であり単調増加。$\lim_{t \to -\infty} h(t) = -\infty$、$\lim_{t \to -0} h(t) = \infty$。
$0 < t < 1$ のとき、$h'(t) < 0$ であり単調減少。$\lim_{t \to +0} h(t) = \infty$。
$t > 1$ のとき、$h'(t) > 0$ であり単調増加。$\lim_{t \to \infty} h(t) = \infty$。

$t = 1$ のとき極小となり、極小値は $h(1) = 3$ である。

関数 $y = h(t)$ のグラフの概形より、直線 $y = a$ との共有点がちょうど2個となるのは、直線が極小値を通るときである。よって、

$$a = 3$$

である。このとき、共有点の $t$ 座標は $t = 1$ であり、もう1つの解は $2t + \frac{1}{t^2} = 3$ を解いて、

$$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0$$

$$(t - 1)^2(2t + 1) = 0$$

より、$t = -\frac{1}{2}$ と求まる。これ以降は解法1と同様に各 $t$ に対する接線の方程式を求める。