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京都大学 2021年理系第2問解説

方針・初手

曲線上の点 $\text{P}$ の $x$ 座標を $t$ とおき、接線の方程式を求めてから $x$ 軸との交点 $\text{Q}$ の座標を求めます。線分 $\text{PQ}$ の長さ $L$ を $t$ を用いて立式し、$L$ が正であることから、$L^2$ の最小値を求める問題に帰着させます。$L^2$ の式が偶数乗のみで構成されるため、$t^2$ をひとつの変数と見なして関数の増減を調べるか、相加・相乗平均の大小関係を利用して最小値を求めます。

解法1

$y = \frac{1}{2}(x^2+1)$ について、$y' = x$ である。曲線上の点 $\text{P}$ の $x$ 座標を $t$ とおくと、$\text{P} \left( t, \frac{1}{2}(t^2+1) \right)$ であり、点 $\text{P}$ における接線の傾きは $t$ となる。接線の方程式は

$$ y - \frac{1}{2}(t^2+1) = t(x - t) $$

$$ y = tx - \frac{1}{2}t^2 + \frac{1}{2} $$

問題文より、この接線は $x$ 軸と交わるため、傾き $t \neq 0$ である。 $y = 0$ とすると

$$ tx = \frac{1}{2}(t^2 - 1) $$

$$ x = \frac{t^2 - 1}{2t} $$

よって、交点 $\text{Q}$ の座標は $\left( \frac{t^2 - 1}{2t}, 0 \right)$ である。

線分 $\text{PQ}$ の長さ $L$ の 2 乗は

$$ L^2 = \left( t - \frac{t^2 - 1}{2t} \right)^2 + \left( \frac{1}{2}(t^2+1) - 0 \right)^2 $$

$$ L^2 = \left( \frac{t^2 + 1}{2t} \right)^2 + \left( \frac{t^2 + 1}{2} \right)^2 $$

$$ L^2 = \frac{(t^2 + 1)^2}{4t^2} + \frac{(t^2 + 1)^2}{4} $$

$$ L^2 = \frac{(t^2 + 1)^2 (1 + t^2)}{4t^2} = \frac{(t^2 + 1)^3}{4t^2} $$

$t \neq 0$ より $t^2 > 0$ である。ここで $s = t^2$ とおくと、$s > 0$ であり

$$ f(s) = \frac{(s + 1)^3}{4s} $$

とする。$s > 0$ における $f(s)$ の増減を調べる。

$$ f'(s) = \frac{3(s+1)^2 \cdot 4s - (s+1)^3 \cdot 4}{16s^2} $$

$$ f'(s) = \frac{4(s+1)^2 \{ 3s - (s+1) \}}{16s^2} $$

$$ f'(s) = \frac{(s+1)^2 (2s - 1)}{4s^2} $$

$s > 0$ において $f'(s) = 0$ となるのは $s = \frac{1}{2}$ のときである。増減表は以下のようになる。

$s$	$(0)$	$\cdots$	$\frac{1}{2}$	$\cdots$
$f'(s)$		$-$	$0$	$+$
$f(s)$		$\searrow$	極小	$\nearrow$

増減表より、$f(s)$ は $s = \frac{1}{2}$ のとき最小となる。最小値は

$$ f\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\left( \frac{1}{2} + 1 \right)^3}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\frac{27}{8}}{2} = \frac{27}{16} $$

したがって $L^2 \ge \frac{27}{16}$ となる。 $L > 0$ であるから、$L$ の最小値は $\sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。

解法2

（$L^2 = \frac{(t^2 + 1)^3}{4t^2}$ を導出するところまでは解法1と同じ）

$s = t^2$ とおくと、$t \neq 0$ より $s > 0$ である。

$$ L^2 = \frac{(s + 1)^3}{4s} $$

ここで、$s > 0$ であるから、相加・相乗平均の大小関係より

$$ s + 1 = s + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \ge 3 \sqrt[3]{s \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = 3 \sqrt[3]{\frac{s}{4}} $$

両辺は正であるから 3 乗しても大小関係は変わらない。

$$ (s + 1)^3 \ge 27 \cdot \frac{s}{4} $$

両辺を $4s \ (> 0)$ で割ると

$$ \frac{(s + 1)^3}{4s} \ge \frac{27}{16} $$

等号が成立するのは、$s = \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ すなわち $s = \frac{1}{2}$ のときであり、これは $s > 0$ を満たす。よって $L^2$ の最小値は $\frac{27}{16}$ である。 $L > 0$ より、$L$ の最小値は $\sqrt{\frac{27}{16}} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ である。

解説

点と直線の距離や2点間の距離を関数として表し、その最小値を求める典型的な微分法の問題です。根号（ルート）を含む式の最小値を考える場合、$L$ が正であることを断ったうえで、中身である $L^2$ の最小値を考えるのが計算を楽にする定石です。

また、本問では展開された式が偶数乗しか持たないため、$t^2 = s$ と置き換えることで次数を下げることができます。解法2のように、式変形から $A+B+C$ の形を作り出して3変数の相加・相乗平均の大小関係を利用できると、微分計算を省略して手早く最小値にたどり着くことができます。

なお、図形的なアプローチとして、接線の傾きが $\tan \theta = t$ であることを利用し、直角三角形を用いて $L = \frac{y_{\text{P}}}{\sin \theta}$ と立式すると、交点 $\text{Q}$ の座標を経由せずに $L^2 = \frac{(t^2+1)^3}{4t^2}$ を素早く導出することも可能です。