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東京大学 2022年文系第1問解説

方針・初手

放物線上の点における接線の方程式を立て、それが原点を通るという条件から接点の座標を決定する。（1）では、2 本の接線が垂直に交わる条件から $a$ と $b$ の関係式を導く。（2）では、円の中心が接点を通る法線と放物線の軸の交点になることを利用して半径を表す。

解法1

(1)

放物線 $C: y = x^2 + ax + b$ について、$y' = 2x + a$ である。 $C$ 上の点 $(t, t^2+at+b)$ における接線の方程式は、

$$ y - (t^2+at+b) = (2t+a)(x - t) $$

整理すると、

$$ y = (2t+a)x - t^2 + b $$

この接線が原点を通るとき、$x=0, y=0$ を代入して、

$$ -t^2 + b = 0 \iff t^2 = b $$

原点を通る接線が2本存在するためには、この $t$ についての2次方程式が異なる2つの実数解をもつ必要がある。したがって $b > 0$ である。このとき、接点の $x$ 座標は $t = \pm \sqrt{b}$ となる。条件より $P_1$ の $x$ 座標は $P_2$ の $x$ 座標より小さいので、

$$ t_1 = -\sqrt{b}, \quad t_2 = \sqrt{b} $$

接線 $l_1, l_2$ の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とすると、

$$ \begin{aligned} m_1 &= 2t_1 + a = a - 2\sqrt{b} \\ m_2 &= 2t_2 + a = a + 2\sqrt{b} \end{aligned} $$

$l_1$ と $l_2$ は垂直に交わるから、$m_1 m_2 = -1$ が成り立つ。

$$ (a - 2\sqrt{b})(a + 2\sqrt{b}) = -1 $$

展開して整理すると、

$$ a^2 - 4b = -1 \iff 4b = a^2 + 1 $$

よって、

$$ b = \frac{a^2+1}{4} $$

後半の証明

任意の実数 $a$ に対して $a^2+1 > 0$ であるから、$b = \frac{a^2+1}{4} > 0$ は常に成り立つ。したがって、任意の実数 $a$ に対して原点を通る接線は必ず2本存在し、それらの傾きの積は $a^2 - 4b = a^2 - (a^2+1) = -1$ となるため、垂直に交わる条件も満たされる。ゆえに、$a$ の値はすべての実数をとりうる。（証明終）

(2)

放物線 $C$ の軸は直線 $x = -\frac{a}{2}$ である。円 $D_i$ ($i=1, 2$) は $P_i$ で $l_i$ と接するため、$D_i$ の中心 $C_i$ は点 $P_i$ を通り $l_i$ に垂直な直線（すなわち法線）上にある。 $C_i$ は $C$ の軸上にあるので、この法線と直線 $x = -\frac{a}{2}$ の交点である。

$l_i$ の傾きは $m_i$ であり、$m_1 m_2 = -1$ である。したがって、$P_1$ における法線の傾きは $-\frac{1}{m_1} = m_2$ であり、$P_2$ における法線の傾きは $-\frac{1}{m_2} = m_1$ である。

点 $P_1(t_1, y_1)$ と中心 $C_1(-\frac{a}{2}, Y_1)$ を結ぶ線分 $C_1 P_1$ の長さが円 $D_1$ の半径 $R_1$ である。線分 $C_1 P_1$ を斜辺とする直角三角形を考えると、その傾きは $m_2$ であり、$x$ 座標の差は $|-\frac{a}{2} - t_1|$ であるから、

$$ R_1 = \sqrt{1 + m_2^2} \left| -\frac{a}{2} - t_1 \right| $$

同様に、円 $D_2$ の半径 $R_2$ は、

$$ R_2 = \sqrt{1 + m_1^2} \left| -\frac{a}{2} - t_2 \right| $$

ここで、（1）の結果より $t_1 = -\frac{\sqrt{a^2+1}}{2}, t_2 = \frac{\sqrt{a^2+1}}{2}$ であり、 $m_1 = a - \sqrt{a^2+1}, m_2 = a + \sqrt{a^2+1}$ であるから、

$$ -\frac{a}{2} - t_1 = -\frac{a}{2} + \frac{\sqrt{a^2+1}}{2} = -\frac{1}{2} (a - \sqrt{a^2+1}) = -\frac{1}{2} m_1 $$

$$ -\frac{a}{2} - t_2 = -\frac{a}{2} - \frac{\sqrt{a^2+1}}{2} = -\frac{1}{2} (a + \sqrt{a^2+1}) = -\frac{1}{2} m_2 $$

これを半径の式に代入すると、

$$ R_1 = \frac{1}{2} |m_1| \sqrt{1 + m_2^2} $$

$$ R_2 = \frac{1}{2} |m_2| \sqrt{1 + m_1^2} $$

$m_1^2 m_2^2 = (-1)^2 = 1$ を用いて根号の中を整理する。

$$ R_1 = \frac{1}{2} \sqrt{m_1^2 (1 + m_2^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{m_1^2 + m_1^2 m_2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{m_1^2 + 1} $$

$$ R_2 = \frac{1}{2} \sqrt{m_2^2 (1 + m_1^2)} = \frac{1}{2} \sqrt{m_2^2 + m_1^2 m_2^2} = \frac{1}{2} \sqrt{m_2^2 + 1} $$