数学2 接線・不等式 問題 7 解説

方針・初手

与えられた曲線の方程式を微分し、$x=2$ における接線の方程式を定数 $k$ を用いて表す。その接線が指定された点を通るという条件から、$k$ についての方程式を立てて解く。

解法1

与えられた曲線の方程式を $y = f(x)$ とおくと、

$$f(x) = x^3 + 4kx + 1$$

である。これを $x$ について微分すると、

$$f'(x) = 3x^2 + 4k$$

となる。

曲線上の $x=2$ である点における接点の $y$ 座標は、

$$f(2) = 2^3 + 4k \cdot 2 + 1 = 8k + 9$$

であり、接点の座標は $(2, 8k+9)$ となる。

また、この点における接線の傾きは、

$$f'(2) = 3 \cdot 2^2 + 4k = 4k + 12$$

である。

したがって、$x=2$ における接線の方程式は、

$$y - (8k + 9) = (4k + 12)(x - 2)$$

すなわち、

$$y = (4k + 12)x - 2(4k + 12) + 8k + 9$$

整理して、

$$y = (4k + 12)x - 15$$

となる。

この接線が点 $(1, -1)$ を通るので、$x=1, y=-1$ を代入して、

$$-1 = (4k + 12) \cdot 1 - 15$$

$$-1 = 4k - 3$$

これを $k$ について解くと、

$$4k = 2$$

$$k = \frac{1}{2}$$

解説

微分法を用いて接線の方程式を求める基本問題である。接点の座標と接線の傾きをそれぞれ $k$ を用いて正しく表し、接線の方程式を立てることができれば問題なく解ける。定数が含まれていても、基本的な手順に従って計算を進めることが重要である。

答え

$$k = \frac{1}{2}$$