数学2 接線・不等式 問題 8 解説

方針・初手

2つの曲線がある1点で接線を共有する（＝ある点で接する）ための条件を立式します。 接点の $x$ 座標を $t$ とおき、「接点における $y$ 座標が等しい」「接点における接線の傾きが等しい」という2つの条件から方程式を立てます。 さらに、その接線が指定された点を通るという条件を加えることで、未知数 $t, a, b$ についての連立方程式を導き、接点が第1象限にあるという条件から解を絞り込みます。

解法1

2つの曲線 $C_1, C_2$ が第1象限内の点 $P(t, s)$（$t > 0, s > 0$）で接線を共有するとする。 点 $P$ は $C_1$ および $C_2$ 上にあるため、以下の式が成り立つ。

$$t^3 + at + 3 = t^2 + b = s$$

$f(x) = x^3 + ax + 3, g(x) = x^2 + b$ とおくと、それぞれの導関数は以下のようになる。

$$f'(x) = 3x^2 + a, \quad g'(x) = 2x$$

点 $P$ において接線が一致するため、そこでの接線の傾きが等しい。よって、以下の式が成り立つ。

$$3t^2 + a = 2t$$

これより、$a$ を $t$ を用いて表す。

$$a = -3t^2 + 2t$$

また、点 $P$ における接線 $L$ の方程式を、$C_2$ 上の点における接線として求めると以下のようになる。

$$y - (t^2 + b) = 2t(x - t)$$

整理して、接線 $L$ の方程式を得る。

$$y = 2tx - t^2 + b$$

接線 $L$ は点 $(0, -a)$ を通るため、この座標を代入する。

$$-a = -t^2 + b$$

これより、$b = t^2 - a$ となる。ここに先ほど求めた $a = -3t^2 + 2t$ を代入し、$b$ も $t$ を用いて表す。

$$b = t^2 - (-3t^2 + 2t) = 4t^2 - 2t$$

ここまでで得られた $a$ と $b$ の式を、接点の $y$ 座標が等しいという条件式 $t^3 + at + 3 = t^2 + b$ に代入する。

$$t^3 + (-3t^2 + 2t)t + 3 = t^2 + (4t^2 - 2t)$$

この方程式を整理する。

$$-2t^3 + 2t^2 + 3 = 5t^2 - 2t$$

$$2t^3 + 3t^2 - 2t - 3 = 0$$

左辺を因数分解する。

$$t^2(2t + 3) - (2t + 3) = 0$$

$$(t^2 - 1)(2t + 3) = 0$$

$$(t - 1)(t + 1)(2t + 3) = 0$$

これを解くと、$t$ の値は以下のようになる。

$$t = 1, -1, -\frac{3}{2}$$

接点 $P(t, s)$ は第1象限の点であるから、$x$ 座標について $t > 0$ を満たす必要があり、$t = 1$ に決定される。 このとき、$a$ と $b$ の値はそれぞれ以下のようになる。

$$a = -3 \cdot 1^2 + 2 \cdot 1 = -1$$

$$b = 4 \cdot 1^2 - 2 \cdot 1 = 2$$

また、接点 $P$ の $y$ 座標 $s$ を確認する。

$$s = 1^2 + 2 = 3$$

$s > 0$ も満たすため、接点 $(1, 3)$ は確かに第1象限の点である。

最後に、接線 $L$ の方程式を求める。 $t = 1, b = 2$ を $y = 2tx - t^2 + b$ に代入する。

$$y = 2 \cdot 1 \cdot x - 1^2 + 2 = 2x + 1$$

解説

「2つの曲線が点 $P$ で接線を共有する」という条件は、「点 $P$ が2つの曲線の共有点である」ことと「点 $P$ における両曲線の接線の傾きが等しい」ことの2つの条件に翻訳できるかが問われる典型的な微分法の問題です。 接点の座標を文字で置き、条件を数式化して連立方程式を解くという手順を踏みます。 方程式を解いた後、「第1象限内の点」という条件から、接点の $x$ 座標および $y$ 座標がともに正であるかどうかの吟味を忘れないことが重要です。

答え

$$a = -1, \quad b = 2$$

接線 $L$ の方程式：

$$y = 2x + 1$$