数学2 接線・不等式 問題 10 解説

方針・初手

• (1) は、定義域 $x \geqq 0$ における関数 $f(x)$ の導関数を計算し、増減表を作成して最小値を求める。
• (2) は、(1) の結果を利用するため、$x$ に $a$ と $b$ を用いた適切な式を代入する。式の形から、$x = \frac{a}{b}$ などを代入して整理する方針が有効であると推測できる。

解法1

(1)

$f(x)$ を $x$ で微分すると、

$$f'(x) = \frac{n}{2} x^{n-1} - n \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-1} \cdot \frac{1}{2} = \frac{n}{2} \left\{ x^{n-1} - \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-1} \right\}$$

となる。$f'(x) = 0$ となる $x$ を考える。$n$ は $2$ 以上の整数であり、$n-1 \geqq 1$ であるから、$x \geqq 0$ の範囲において、

$$x^{n-1} = \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-1} \iff x = \frac{1+x}{2}$$

が成り立つ。これを解くと $x = 1$ となる。

次に、$x \geqq 0$ における $f'(x)$ の符号変化を調べる。

$$x - \frac{1+x}{2} = \frac{x-1}{2}$$

であるから、$0 \leqq x < 1$ のとき、

$$0 \leqq x < \frac{1+x}{2}$$

となり、両辺は $0$ 以上であるから $x^{n-1} < \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-1}$ が成り立つ。したがって $f'(x) < 0$ となる。

また、$x > 1$ のとき、

$$x > \frac{1+x}{2} > 0$$

となり、$x^{n-1} > \left( \frac{1+x}{2} \right)^{n-1}$ が成り立つ。したがって $f'(x) > 0$ となる。

以上より、$x \geqq 0$ における $f(x)$ の増減表は次のようになる。

$$\begin{array}{c|c|c|c|c} x & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f'(x) & & - & 0 & + \\ \hline f(x) & & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}$$

ここで、$x=1$ のときの関数の値は、

$$f(1) = \frac{1+1^n}{2} - \left( \frac{1+1}{2} \right)^n = 1 - 1 = 0$$

である。したがって、$f(x)$ は $x=1$ で極小かつ最小となり、最小値は $0$ である。

(2)

(1) の結果より、$x \geqq 0$ のすべての $x$ について $f(x) \geqq 0$ が成り立つ。すなわち、

$$\frac{1+x^n}{2} \geqq \left( \frac{1+x}{2} \right)^n$$

である。

$a, b$ は正の整数であるから、$x = \frac{a}{b}$ とおくと $x > 0$ であり、$x \geqq 0$ を満たす。これを上の不等式に代入すると、

$$\frac{1+\left(\frac{a}{b}\right)^n}{2} \geqq \left( \frac{1+\frac{a}{b}}{2} \right)^n$$

となる。カッコの中を通分して変形すると、

$$\frac{\frac{b^n+a^n}{b^n}}{2} \geqq \left( \frac{\frac{b+a}{b}}{2} \right)^n$$

$$\frac{a^n+b^n}{2b^n} \geqq \frac{(a+b)^n}{2^n b^n}$$

ここで、両辺に $b^n (>0)$ を掛けると、

$$\frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left( \frac{a+b}{2} \right)^n$$

を得る。なお、等号成立条件は $x = 1$、すなわち $\frac{a}{b} = 1 \iff a=b$ のときである。

解法2

(2)の別解

$g(t) = t^n$ （$t > 0$）とおく。$n$ は $2$ 以上の整数である。$g(t)$ の第2次導関数を求めると、

$$g'(t) = nt^{n-1}$$

$$g''(t) = n(n-1)t^{n-2}$$

となる。$t > 0$ において $g''(t) > 0$ であるから、関数 $g(t)$ は $t > 0$ の範囲で下に凸である。

したがって、任意の正の実数 $A, B$ に対して、次の不等式が成り立つ。

$$\frac{g(A)+g(B)}{2} \geqq g\left(\frac{A+B}{2}\right)$$

$a, b$ は正の整数であるから正の実数でもある。$A = a, B = b$ として代入すると、

$$\frac{a^n+b^n}{2} \geqq \left(\frac{a+b}{2}\right)^n$$

を得る。等号成立は $A=B$、すなわち $a=b$ のときである。

解説

• (1) は文字 $n$ を含む関数の微分の基本的な問題である。導関数の符号変化を調べる際に、累乗の差の符号を底の大小関係に帰着させて判定するのが確実な処理である。
• (2) は (1) の結果をどのように活用するかが鍵となる。「式を整えて目標の形を作り出す」ために、1変数の不等式に対して $x = \frac{a}{b}$ とおく発想が重要となる。
• 解法2で示したように、(2) の不等式は $y = x^n$ が下に凸な関数であることを表す性質（イェンセンの不等式）そのものである。(1) で証明した $f(x) \geqq 0$ は、この2変数の不等式を同次性を用いて1変数に帰着させて証明するための誘導となっている。

答え

(1)

最小値 $0$ （$x=1$ のとき）

(2)

$$\left( \frac{a+b}{2} \right)^n \leqq \frac{a^n+b^n}{2}$$

（等号は $a=b$ のとき成立）